����� IB No.10����

���Ǹ�ʬ��ġ�

���ǰ���ʬ��ΰ�����פ�����Ω�Ĥ褦�ʴĤ��Ǹ�ʬ��ĤȸƤ֡�

��������

$$12=(-3) \times (-4)=(-1)\times 3 \times (-4)=\dots$$

�Τ褦��̵�Ѥ�ʬ����򤱤뤿��ˡ�$\pm 1$ ���ह����(�ĵո�)�����̰������� ���Ȥˤ��롣

��� 10.1   $R$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ������� �Ѥ˴ؤ��Ʋĵդʤ��(�ĵո�)������ $R^\times$ �Ǥ���魯��

$$R^\times =\{ x\in R ; \exists y \in R$$    ������ $$xy=yx=1$$   ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î©ï¿½ï¿½$$\}$$

�� 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^\times=\{\pm 1\}$ , ${\mathbb{C}}^\times={\mathbb{C}}\setminus\{0\}$ , ${\mathbb{C}}[X]^\times={\mathbb{C}}^\times$ .

�����ˤ����Ƥϡ��� $x$ ��������Ĵ�٤�����ˡ�$x$ ���������륤�ǥ��� $(x)$ ��Ĵ�٤�Ȥ��ޤ��������Ȥ����롣�ʲ��ε����Ǥ����ˤ˻Ȥ���Τ� ���դ��Ƥ����Ȥ褤�� ���Ū�ˤϡ����̤δĤǤϸ������ΰ����˸³������äơ����ǥ����Ƴ������� ���ޤ������Ȥ������Ȥ� Dedekind �����դ���������Ÿ�����줿���ǥ������� ��ŵŪ�ʴ��Ĥ��ε������ۼ����줿�Τ���

���� 10.1   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ �ˤĤ��ơ�����Ʊ�ͤǤ��롣

1. $x \in R^\times$
2. $(x)=R$

��� 10.2   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ ���Ǹ��Ǥ���Ȥϡ� $(x)$ �� $R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ��ˤ�����

��� 10.3   ���� $R$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ���Ȥϡ�$R$ �� Ǥ�դθ� $x$ �ˤĤ��ơ����Τ����줫������Ω�ĤȤ��˸�����

1. $x$ =0
2. $x \in R^\times$
3. $x$ �� $R$ ���Ǹ����Ѥ�ʬ�򤵤�롣

�㤨�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mathbb{C}}[X]$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣��äȰ��̤ˡ� ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

���� 10.1   $R$ ��ñ�।�ǥ�������ʤ�С�$R$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

���������ξ���(�������轵)�Ϥ����Ĥ����ʳ��ˤ狼��롣

�ޤ������λ��¤γ�ĥ����Ϥ���褦��

���� 10.1   ���� $x,y,z$ �����äơ� $yz$ �� $x$ �dz���ڤ졢 ���� $x,y$ ���ߤ����ǤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$z$ �� $x$ �dz���ڤ�롣

���� $x,y$ ���ߤ����Ǥʤ顢 $(x,y)={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��ä����Ȥ�פ��������ȡ� ��������Ͼ�λ��¤γ�ĥ�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ�����������

���� 10.2   �Ĵ��� $R$ �θ� $x,y,z$ �����äơ� $yz$ �� $x$ �dz���ڤ졢���� $(x,y)=R$ �Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$z$ �� $x$ �dz���ڤ�롣

��� 10.4   $R$ �ϲĴ��ĤǤ���Ȥ��롣$R$ �θ� $x$ ������Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall y \forall z ( y,z\in R, yz=x \ \implies \ (y\in R^\times$$    �ޤ��� $$z \in R^\times))$$

�ΤȤ��˸�����

���� 10.3   $R$ ������Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $R$ ���Ǹ��ϡ�ɬ������Ǥ��롣
2. $R$ �δ��󸵤ϡ�ɬ�������Ǹ��Ȥϸ¤�ʤ���
3. $R$ ��ñ�।�ǥ���Ĥǡ��ʤ���������ʤ���� $R$ �δ��󸵤�ɬ���Ǹ��Ǥ��롣

�������ˤ�ꡢñ�।�ǥ������� $R$ �θ� $x$ ���ǰ���ʬ�򤹤���� ���Τ褦�ˤʤ롣

1. $x=0$ �ޤ��� $x \in R^\times$ �ʤ�С������ޤ���
2. $x$ ���Ǹ��ʤ�С���Ϥꤪ���ޤ���
3. ����ʳ��ʤ顢$x=yz$ ( $y,z\in R\setminus R^\times, y,z\neq 0$ )�� ʬ��Ǥ��롣
4. $y,z$ �ˤĤ���Ʊ�ͤΤ��Ȥ򤹤롣 (�㤨�� $y,z$ �� �Ǹ��Ǥʤ���С� $y=y_1y_2$ �Ȥʤ롣)
5. �����֤���

���Ȥ�����ϡ���Ĥθ���̵�¤�ʬ�򤵤�Ƥ����ʤ������Ȥ������ȤǤ��롣 �������꤬���������������:

���� 10.4   ñ�।�ǥ���� $R$ �Υ��ǥ����������

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

��ɬ���ɤ����ǻߤޤ롣���ʤ������ $N$ �����äơ�

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

���ʤꤿ�ġ�

(����) ${\mathbb{C}}[X]$ ����ʬ�� $R={\mathbb{C}}[X^2,X^3]$ ��ͤ���ȡ�

$$R=\{f\in {\mathbb{C}}[X];$$    $f$ �� $X$ �˴ؤ���켡�ι�η����� $0$$$\}$$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣�����ǡ� $a=X^2,b=X^4,c=X^3$ �Ȥ����ȡ�$ab=c^2$ �Ǥ��뤬��

1. $a$ �� $R$ �Τʤ��Ǵ���Ǥ���
2. $a$ �� $R$ �Τʤ��� $c$ ������ǤϤʤ���

�Ȥ������Ȥ�ʬ���롣���Τ褦�ˡ�ñ�ˡִġפȤ��äƤ⤳�Τ褦�ʡ��ðۤʡ״Ĥ� �ޤޤ��Τǡ����θ��μ�갷���ˤ��̾���������갷���ʾ�����դ�ɬ�פǤ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{5}]$ �Τʤ���

$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=2 \cdot 2$$

�ʤɤ⡢�ǰ���ʬ�������������Ǥ��롣

���� 10.1   �Ǹ�ʬ��� $R$ �θ� $a,b,m$ �ˤĤ��ơ�

$$\gcd(a,b)=\gcd(a,b+ma)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

�ҥ��: $\gcd$ �����

$$d \vert\gcd(a,b) \quad {\Leftrightarrow}\quad ( d \vert a$$    ���� $$d\vert b)$$

��ͭ���˻Ȥ����ȡ�

���� 10.2   $m,n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����Ƹߤ�����(���ʤ����$m,n$ ��������� $1$ ) �ʤ�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ��Ȥ��Ƥ�ߤ����ǤǤ��뤳�Ȥ� �������衣

���� 10.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��뤳�Ȥ������ơ� �ߤ����Ǥ� $m,n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ��Ȥ���

$$\gcd(m+n \sqrt{-1},m-n\sqrt{-1})=1$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����