����� IB No.9����

�Գ�껻�θ���(�桼����åɴ�)�� �����;����������껻�ΤǤ����(�桼����åɴ�)������򤷤��� �桼����åɴĤˤ����Ƥϡ��桼����åɤθ߽�ˡ���¹ԤǤ���ΤǤ��ä���

&dotfill#dotfill;

����ϡ������Ѥ߻Ĥ���̿��ξ�����Ԥ�������ˡ� ���ǥ������޴ط��ȿ��������δط����桼����åɤθ߽�ˡ�Υ��ǥ�����Ū�� �յ��ˤĤ��Ʋ��⤹�롣

��� 9.1   �� $R$ ���桼����åɴ��Ǥ���Ȥϡ����������� $W$ �� ���� $\rho:R\to W$ (�ֽŤ��פ�Ĵ�٤����)�����äơ� �����������������Ȥ��˸���

1. $R$ �θ� $a$ �ΡֽŤ��� $\rho(a)$ ���Ǿ� ${\Leftrightarrow}$ $a=0$
2. $R$ �θ� $a,b$ $(a\neq 0)$ ���Ф��ơ�
   $$b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \rho(r)<\rho(a)$$
   �Ȥʤ� $q,r$ ��¸�ߤ��롣

(��$W$ �����󽸹�Ǥ���פȤϡ�$W$ �Ͻ������Ǥ��äơ������� ��$W$ ��Ǥ�դ���ʬ���� $X$ �ϺǾ�������ġפȤ����Ȥ��ˤ����� ����������񤷤�������������ˤ� $W=\mathbb{N}$ �ȻפäƤ�����ʳ��ˤϽ�ʬ�Ǥ��롣 )

��� 9.2   �� $R$ �Υ��ǥ��� $I$ ��ñ�।�ǥ����Ǥ���Ȥϡ� ���� $a\in R$ ��¸�ߤ��ơ� $I=(a)$ ������Ω�ĤȤ��˸�����

$R$ �����ƤΥ��ǥ��뤬ñ�।�ǥ���Ǥ���Ȥ��� $R$ ��ñ�।�ǥ�����Ǥ���ȸ�����

���� 9.1   �桼����åɴĤ�ñ�।�ǥ���ĤǤ��롣

�� 9.2   ���� $a,b$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ������κ��������� $d$ �Ȥ��������ΤȤ���

$$al+bm=d$$

��ߤ������� $l,m$ ��¸�ߤ��롣

�� 9.3   $k$ ���ΤȤ��롣$k$ ���¿�༰ $a,b$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ������κ��������� $d$ �Ȥ��������ΤȤ���

$$a(X)l(X)+b(X)m(X)=d(X)$$

��ߤ���$k$ ���¿�༰ $l,m$ ��¸�ߤ��롣

��� 9.3   �� $R$ �� $a,b\in R$ �Ȥˤ������ơ�

1. $a \in b R$ �ΤȤ��� $a$ �� $b$ ���ܸ��Ǥ���Ȥ����� $b\vert a$ �ǽ�ɽ����$b$ ����Ȥ��ơ�$b$ �� $a$ �����Ǥ���Ȥ⤤����
2. ���� $u \in R^\times$ �����äơ�$a=bu$ ��ߤ����Ȥ���$a$ �� $b$ �Ȥ� Ʊȼ�Ǥ���Ȥ�����

̿�� 9.4   ���� $R$ �θ� $a,b$ �ˤ������ơ�

1. $(a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
2. $a$ �� $b$ ��Ʊȼ ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$ .

���̤ˡ�ñ�।�ǥ���� $R$ �ˤ����ơ� 2�Ĥθ� $a,b$ ����������륤�ǥ��� $(a,b)$ �ϡ�ñ��Ǥ��뤫�� $(d)=(a,b)$ �ʤ� $d\in R$ ��¸�ߤ���Ϥ��Ǥ��롣���� $d$ �� $a,b$ �κ������ (gcd) �Ǥ��롣

���� 9.1   5��ʾ��2�Ĥο� $a,b$ �����Ū�˵󤲡����� gcd $d$ ��߽�ˡ���Ѥ��Ƶ�ᡢ ���� $a,b,d$ �ˤĤ��� ���ǥ�������� $(a,b)=(d)$ ��������ˤ�餺�� �������衣 ¾�οͤ� $a,b$ ���Ťʤ�ʤ����ȡ���ñ�ˤʤꤹ���ʤ����Ȥ�α�դ��뤳�ȡ�