����� IB No.7����

��¿�༰�Ĥΰ������ȴĽ�Ʊ��������

�� $R$ ���� $S$ �ؤν�Ʊ�� $f$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� �����˴ؤ������������ $f$ �ˤ�� $R$ �Υ��饹ʬ�����Ǥ��롣 ����� $\operatorname{Ker}(f)$ �ˤ�� $R$ �Υ��饹ʬ���Ȱ��פ���ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

�� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�� $R[X]$ �Ȥϡ� $R$ �θ��ȡ���Ĥ��ѿ� $X$ �Ȥ���������� �ĤǤ��ä���Ʊ�ͤ� $R[X_1,X_2,\dots,X_n]$ ��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 ���νм������������������꤬����Ω��

���� 7.1   Ǥ�դδ� $R$ �ˤĤ��ơ�

$$R[X][Y]\cong R[X,Y]$$

�Ȥ���������Ʊ����¸�ߤ��롣 ��äȰ��̤�

$$R[X_1,X_2,\dots,X_n] \cong R[X_1,X_2,\dots,X_{n-1}][X_n]$$

���ʤꤿ�ġ�

̿�� 7.1 (��������)   �� $S$ �Ȥ�����ʬ�� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���Ǥ�դ� $S$ ���$n$ �Ĥ��� $s=(s_1,s_2,\dots,s_n)$ �ˤ������ơ� ���Τ褦�ʴĽ�Ʊ�� $\psi_s[X_1,X_2,\dots,X_n] \to S$ �� ͣ���¸�ߤ��롣

1. $\psi(r)=r \qquad(\forall r\in R),$
2. $\psi(X_j)=s_j\qquad (j=1,2,3,\dots,n).$

����ˡ�$\psi$ �ϼ��Τ褦�ʷ���Ϳ�����롣

$$\psi(p)=p(s_1,s_2,\dots,s_n)$$

�� 7.1   �ĤȤ��Ƥ�Ʊ�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]/(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X] \cong {\mathbb{C}}$ �� ¸�ߤ��롣 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ ���� ${\mathbb{C}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(p)=p(\sqrt{-1})$$

������ȡ����Τ��Ȥ�ʬ���롣

1. $f$ �ϼ����Ȥ��Ƥ��ޤ��������Ƥ��롣
2. $f$ �ϴĤν�Ʊ���Ǥ��롣
3. $f$ ������ ${\mathbb{C}}$ ���ΤǤ��롣
4. $f$ �γˤ� $(X^2+1)$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ �Ǥ��롣

��äơ���Ʊ�������ˤ�ꡢ

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X]/(X^2+1)$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$[X] \cong {\mathbb{C}}$$

����������롣

����

�Ľ�Ʊ�� $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$f(X)=3$ ���� ʬ���äƤ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1. ¿�༰ $X^2+3X+5 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �� $f$ �ˤ���������Ū�˵��ʤ�����
2. $\operatorname{Ker}(f)$ �θ��ǡ� 0 �Ȱۤʤ��Τ����Ū��3�Ĥ����ʤ�����