����ر齬 I ���� No.9

�����ִġפȤ�����ñ�̸�����IJĴ��ĤǤ���Ȥ����ִĤν�Ʊ���פ� ñ�̸����ݤĤ�Τ�����ͤ��뤳�Ȥˤ��ޤ���

��� 9.1   ���� $R$ �����ʬ���(unique factorization domain:UFD) �Ǥ���Ȥϡ� $R\setminus \{0\}$ ��Ǥ�դθ� $x$ ���Ǹ����Ѥ�

$$x=p_1 p_2\dots p_k ($$$p_1,...,p_k$ �� $R$ ���Ǹ�$$)$$

�Τ褦�˽񤱤�Ȥ��˸����ޤ��� ( $p_1,\dots,p_k$ ����ˤ�Ʊ����Τ����äƤ�褤��)

��� 9.2   ���� $R$ �� ñ�।�ǥ������� (principal ideal domain:PID) �Ǥ���Ȥϡ�$R$ �Τ��٤ƤΥ��ǥ��뤬ñ�।�ǥ���(��Ĥθ�����������륤�ǥ���)�Ǥ���Ȥ��˸����ޤ���

��� 9.3   ���� $R$ ���桼����å����� (Euclidian domain:ED) �Ǥ���Ȥϡ����������� $W$ �� ���� $\rho:R\to W$ (�ֽŤ��פ�Ĵ�٤����)�����äơ������������������Ȥ��˸����ޤ���

1. $R$ �θ� $a$ �ΡֽŤ��� $\rho(a)$ ���Ǿ� ${\Leftrightarrow}$ $a=0$
2. $R$ �θ� $a,b$ $(a\neq 0)$ ���Ф��ơ�
   $$b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \rho(r)<\rho(a)$$
   �Ȥʤ� $q,r$ ��¸�ߤ��롣

���줫��ä��δ� (3�󤰤餤)��Σ��ĤΥ����פδĤ�����ˤʤ�ޤ�������Ū�ˤϡ�

   ED$$\implies$$   PID$$\implies$$   UFD

�Ȥ������¤ȡ����㡢���������ΰ�̣��ʬ��褦�ˤʤ�� OK �Ǥ��� �ޤ���˾夲������Τ����δ��Ĥ����Ѹ�˴ؤ������꤫��Ϥ�ޤ���

���� 9.1   �� $R$ �θ� $a$ �ˤĤ��ơ�������Ĥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $a$ ���Ǹ��Ǥ��롣���ʤ�� $a$ �� $bc$ �����ڤ�С�$b$ �� $c$ ���Τɤ��餫�� $a$ ���ܸ��Ǥ��롣
2. $a$ ����������� $R$ �Υ��ǥ��� $aR$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��롣

���� 9.1 (���󽸹������γ�ǧ)   $R$ ��桼����å�����Ȥ��� $\rho:R\to W$ ����� 9.3 �˽ФƤ�������Ȥ��ޤ������λ���Ǥ�դ� $R$ ����ʬ���� $S$ ���Ф��ơ�$S$ ����ǽŤ����Ǿ��Τ��(�ְ��ַڤ���Ρ�)�����뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��$W$ �����󽸹�Ǥ���פȤϡ���$W$ ��Ǥ�դ���ʬ���� $X$ �ϺǾ�������ġפȤ������ȤǤ����������ǡ���$S$ �θ��νŤ��ν����

$$\{\rho(a); \quad a\in S\}$$

�� $X$ �Ȥ��ƺ��Ѥ���ȡ�������˺Ǿ���������Ȧ�Ǥ�������� $\rho(a_0)$ �Ȥ���С�$a_0$ �������ΤȤ������Ȥˤʤ�ޤ���(���ա����ַڤ����ϰ�ĤȤϸ¤�ޤ���)

���� 9.2   �桼����å������ñ�।�ǥ�������Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�ҥ�ȡ�$R$ ��桼����å�����Ȥ���$I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½Î°ï¿½Ä¤È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½$I=0$ �ʤ�ñ�� (0 �����������)�ΤǤ褤��$I \neq 0$ �ʤ顢 $I\setminus\{0\}$ �θ��Τ��������ַڤ�����ȤäƤߤʤ�����)

���� 9.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤳�Ȥ�����˱�äƼ����ʤ����� $(W=?, \rho=?)$

���� 9.4   �� $K$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�� $K[X]$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤳�Ȥ�����˱�äƼ����ʤ�����

���� 9.5   $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ (���λ��躬�ΰ��)�Ȥ���Ȥ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[\omega]$ ���ΤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 9.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ϡֽŤߴؿ���$\rho$ ��

$$\rho:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\geq 0}$$

$$\cup \!\! \!\! \shortmid \cup \!\! \!\! \shortmid$$

$$m+n\sqrt{-1} \mapsto m^2+n^2$$

��������뤳�Ȥˤ�ꡢ�桼����åɴĤȤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�ҥ�ȡ� $\alpha,\beta \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}], \beta \neq 0$ �Ȥ���Ȥ���$\alpha$ �� $\beta$ �dz�ä��������ˤϡ� $\alpha/\beta$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ��Ƕ�����Ƥߤʤ�����)

���� 9.7  

1. Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z$ ���Ф��ơ����� $\gamma\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �����äơ�$z$ �� $\gamma$ �Ȥε�Υ $\vert\gamma-z\vert$ �� $1$ �ʲ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(�ҥ�ȡ�ʣ��ʿ�̾�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �θ���ץ��åȤ��Ƥߤʤ�����)
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �ϡֽŤߴؿ���$\rho$ ��

   $$\rho:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}] \to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\geq 0}$$

   $$\cup \!\! \!\! \shortmid \cup \!\! \!\! \shortmid$$

   $$m+n\sqrt{-2} \mapsto m^2+2n^2$$

   
   
   ��������뤳�Ȥˤ�ꡢ�桼����åɴĤȤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.8   $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($1$ �λ��躬�ΰ��) �Ȥ��ޤ������ΤȤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ �ϥ桼����åɴĤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 9.9 (��1)   ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����

1. $(3+4\sqrt{-1},5)$
2. $(5+12\sqrt{-1},13)$
3. $(7+8\sqrt{-1},9)$