����ر齬 I ���� No.5

���� 5.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/23{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �γƸ� $x$ ���Ф��ơ����εո���ñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 5.2 (��1)   $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/112233{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ�

1. $R$ �θ� $2$ �εո�����ʤ�����
2. $R$ �θ� $5$ �εո�����ʤ�����
3. $R$ �θ� $756$ �εո�����ʤ�����
4. $R$ �θ� $4117$ �ϵո�����Ĥ�������?

�� $R$ ���Ф��ơ����θ�����ʬ�ˤ�Ĺ����ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��� �̾�ΰ�̣���¡������Ѥ�(�����������äƤ���Ȥ������Τ�Ȥ�) �������ơ���ǯ���ǽ�����������Τ��ʤ����ʬ�����Τޤ� ��������(��껻��ȼ�����ˤĤ��Ƥ����դ�ɬ�ס�)

$$M_n(R)=\{$$$R$ �θ�����ʬ�ˤ�� $n×n$ ����$$\}$$

�Ȥ����ȡ������(�Ĵ��ǤϤʤ�)�ĤǤ��롣 ����ñ�̸��� $1_n$ ($n$ ����ñ�̹���)�Ǥ��롣

���� 5.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ�����ʬ�ˤ�Ĺ������

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

��׻������Ǥ��������ñ�ʷ������ʤ������ʬ�������ͤ� 14�ʲ��������ˤ�ä�ɽ����Ƥ�����ˤʤ�褦��ľ���ʤ�����

���� 5.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.7   �Ĵ��� $R$ �θ�����ʬ�ˤ��� $m,n$ ���� $A$ �� $n,m$ ���� $B$ �Ȥˤ������ơ�

$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����

���� 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����¸�ߤ������������ ���󼰤ξ�ˡ��

$$\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y)=\operatorname{det}(X Y)$$

�˴�Ť��������ʤ�����

���� 5.9   �ɤ������ $n$ ���Ф��Ƥ⡢

$$AB-BA=1_n$$

��ߤ������� $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ ��¸�ߤ��ʤ����Ȥ򼨤��ʤ����� (�ҥ��:�ȥ졼��)

���� 5.10   �ǿ� $p$ �ˤĤ��ơ� $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ �ǡ�

$$AB-BA=1_p$$

����������Τ����󤲤ʤ����� (���ʤ�����Ǥ��롣$p=3,5$ �ΤȤ��ˤޤ���Ƥߤ���ɤ������Τ�ʤ���)

���� 5.11   �� $K$ ���ǿ� $q$ ���������� $l$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� �� $K^\times$ �θ� $x$ �Ρ�$K^\times$ �θ��Ȥ��Ƥΰ̿�(=��ˡŪ�̿�) �� $q^l$ ������Ǥ���褦�ʸ������ΤϽ�󷲤�ʤ����Ȥ� �����ʤ�����

���� 5.12   ͭ���� $K$ ���� $A \in M_n(K)$ ����$M_n(K)$ ����Dzĵդʤ顢 ������������ $m$ �ˤĤ���

$$A^m=1_n \quad($$������ $n$ ��ñ�̹���$$)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����