����ر齬 IB ���� No.2

���� ���줫��ϡ��Ȥ��ˤ��Ȥ��ʤ��¤ꡢñ�̸����ĴĤΤߤ򰷤����ִġפȤ����С� ñ�̸�����ĴĤȲ�ᤷ�Ƥ�������������(ñ�̸���¸�ߤ��Ȥ��˽��פʻ��ˤϡ� ������Ȥ�롣)���������Ѥ��Ĵ��Ǥ���ȤϤޤ����ꤷ�ʤ���

���� 2.1   ñ�̸� $1$ ����Ĵ� $R$ �θ� $x,y,z$ �ˤ������ơ�

$$xy=1 y x$$

$$zx=1 z x$$

������Ω�ĤȤ���$z=y$ �Ǥ��äơ�

$$xy=yx=1$$   (���ʤ�� $y(=z)$ �� $x$ �εո��Ǥ���)

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 2.1   ñ�̸���¸�ߤ���� $R$ �ˤ����ơ�$R$ �Τʤ��ǵո���¸�ߤ���褦�ʸ��Τ��Ȥ� $R$ ���ĵո��Ȥ���ñ�������뤤��ñ���Ȥ����ޤ���

��� 2.2 (��ʬ�Ĥ����)   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ����ʬ���� $S$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥϡ�$S$ �����ξ������������ˤ�����

1. $S$ �� $R$ ��­��������������ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��ĤˤʤäƤ��롣
2. $S$ �� $R$ ��ñ�̸��򸵤Ȥ��ƻ��ġ�

��ξ��Τ����� (1)���ܼ�Ū��ʬ�Ǥ��ꡢ(2) ����Ƭ�ǽҤ٤����դ˱褦����� ����Ū���Ǥ��롣��������(2)��̤����Ƥ��ޤ��������ϸ������夫�ʤ��ä� ���ˤʤ�Τ�ñ�̸��Τʤ��Ĥ򰷤���(���⤷����Ф��λ�)�ˤ����դ�ɬ�פǤ��롣

���� 2.2 (��1)   ���Τ�Τ�ʣ�ǿ����ΤΤʤ��� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��뤫����ͳ��Ĥ��������ʤ�����

1. $5$ �ʳ��� �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\setminus\{5\}$ .
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+2 \sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+2 \sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{1}{2} \sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\frac{1}{2} \sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

���� 2.3   ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $S$ ���� $1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ»ï¿½ï¿½Ã¤Æ¤ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ ����� $2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$ �� $S$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.4   ͭ���������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ (�Ĥޤꡢ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) �� $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $\sqrt{2},\sqrt{3}$ �� $R$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.5   ͭ���������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �� $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ �� $R$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.6   ͭ���������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �� $\sqrt{2}+2\sqrt{5}+3\sqrt{7}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{7}$ �� $R$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.7   ͭ���������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �ˤĤ��ơ�������Ĥξ���Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

1. $\sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$ .
2. $\sqrt{3}\in R$ ���� $\sqrt{7}\in R$ .

���� 2.8   ����ǡ�$R$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤࡢ�Ȥ������� �����Ƥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ���������������� �������ʤ���������ְ�äƤ���ʤ�ȿ��� �����ʤ�����

���� 2.9 (��1)  

1. $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�Ĥ���������
2. ��� $S$ ��ޤࡢ ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�Ĥǡ��Ǿ��Τ��(�Ĥޤꡢ$S$ �� ��������� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ��)�Ϥʤˤ���

���� 2.10 (��1)  

$$S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+2 \sqrt{2}... ...+2\sqrt{6} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+ (\sqrt{2}+\sqrt{3}){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

�Ȥ��������ΤȤ���

1. $S$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ������������
2. $S \not \ni \sqrt{2}$ �򤷤ᤷ�ʤ�����
3. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ �򸵤Ȥ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �� ���ʤ餺 $S$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.11 (��1)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �βĵո������Ƶ��衣
2. ���̤δ� $R$ �ˤĤ��ơ� $R$ �βĵո������Τ� ����ʤ����Ȥ�������衣

��������Ͼ����ѡ����äƺ٤��������Ϥ��ʤ��� �򤳤��Ȼפ���ΤϾܺ٤ϼ�ʬ�ǹͤ��뤳�ȡ� �ʲ��� $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ �Ȥ���������Ѥ��롣

���� 2.12 (��1)   �� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $R$ ����������

$$S(R)=\{(a_0,a_1,a_2,\dots, a_n,\dots) ; \forall i \in \mathbb{N}a_i \in R \}$$

�ˡ���ʬ���Ȥ��¤��¤�������� �Ѥ�

$$(a_i)_{i\in \mathbb{N}}\cdot (b_i)_{i\in \mathbb{N}}= ( \sum_{j=0}^i a_j b_{i-j})_{i \in \mathbb{N}}$$

���������Ȥ���

1. $S(R)$ �Ϥ����¤��ѤˤĤ��ƴĤ�ʤ����Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����

2. $S(R)$ �ΤΤΤ�����ͭ�¿���Ǥ����Τ� (���ʤ�������� $(a_i)$ �Ǥ��äơ� �� $\exists N \forall i >N \quad a_i=0$ �� �����������) ���Τ� $F(R)$ �Ƚ񤯤ȡ������ $S(R)$ ����ʬ�Ĥ�ʤ����Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����
3. $r\in R$ ���Ф��ơ� $(r,0,0,\dots)$ �� $c_r$ �� �񤯤��Ȥˤ��롣 $c_R=\{c_r; r\in R\}$ �� $F(R)$ �� ��ʬ�ĤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $F(R)$ �ϡ� $c_R$ �� $X=(0,1,0,0,\dots)$ ����������뤳�Ȥ� �����ʤ�����