論理と集合要約 No.15

第15回目の主題 : 復習と補足。

◎ 同値関係

◯「関係」

定義 15.1   集合 $S$ の上の二項関係とは、 $S \times S$ の部分集合 $\mathcal R$ の ことである。 $x,y \in S$ にたいして、 $(x,y)\in \mathcal R$ のとき $x \underset{\mathcal R}{\sim} y$ と書いたりする。

   関係$$\begin{cases} \text{2項関係} & \begin{cases} \text{大�... ...\end{cases} \\ \text{3項関係 } & \\ \text{etc} \end{cases}$$

◯ クラス分け(分類)をするのに用いられる関係:同値関係

* クラス分けがうまくできるためには守らなければならないルールがある。

それが、推移律、反射律、対称律。

◯ 問題を２つに分ける

1. $\sim$ は 同値関係か?
2. $\sim$ によるクラス分けを行え。

◯ 同値関係による等化写像。

集合 $X$ に同値関係 $\sim$ が定まると、 「等化写像」(「自然な射影」)

$$X \to X /\sim$$

が、各 $x \in X$ に対して $x$ の クラスを対応させることで定まる。

◎ 部分集合全体の集合。 $X$ の部分集合 $S$ は、$X$ 上の $\{0,1\}$ のみに値をとる関数

$$\chi_S(x)= \begin{cases} 1 & \text{$x \in X$ のとき} \\ 0 & \text{$x \notin X$ のとき} \\ \end{cases}$$

と一対一に対応する。

ところで:

定義 15.2   $X$ から $Y$ への写像の全体のなす集合を $Y^X$ と書き表す。

この定義に従うと、$X$ の部分集合の全体は $\{0,1\}^X$ の元と一対一に対応する ということになる。そこで:

定義 15.3   $X$ の部分集合の全体のなす集合を $2^X$ と書き表す。

定理 15.4   $X$ から $2^X$ への全射は存在しない。

とくに、 例えば ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の部分集合の全部を書きたいとき、 $S_1,S_2,\dots,$ と 添え字をつけていたのでは、添字が足りなくなる。そこで 添字集合が必要にな。