論理と集合要約 No.14

第14回目の主題 : 復習。

問題 14.1   ナミヘイは、「どのような正の実数をカツオが言ったとしても、それより小さい 正の実数を挙げることができる」と言った。 ナミヘイは正しいだろうか。また、この文の真理値だけを問題にしたとき、 「」内を $\forall,\exists$ を用いて書くとどうなるだろうか?

問題 14.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、

1. $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。
2. 以下この問題では、 $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim$ に関するクラスを $[x]$ と書く。 $1$ のクラス $[1]$ に属する ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $3$ で割った余り) で定義できるだろうか。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

問題 14.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ における二項関係を $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ で定義する。 このとき、

1. $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。
2. 以下この問題では、 $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim$ に関するクラスを $[x]$ と書く。 $3$ のクラス $[3]$ に属する ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元をすべて答えなさい。
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $5$ で割った余り) で定義できるだろうか。
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ から ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $f$ を、 $f([x])=$   ($x$ を $4$ で割った余り) で定義できるだろうか。

例題 14.1   命題 P: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$( x<y \implies \exists z\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x<z \text{ and } z<y)))$ について、

1. P の否定命題 (not P)を「not を使わずに」書きなさい。
2. P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。

例題 14.2   写像 $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2-2x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して、

1. $f^{-1}(\{0\})$ を求めなさい。
2. $f^{-1}(\{1\})$ を求めなさい。
3. $f^{-1}(\{4,5,6\})$ を求めなさい。
4. $f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
5. $f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
6. $f$ によって ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に同値関係 $\sim_f$ が
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   により定まる。この $\sim_f$ により $3$ と同値になる ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を すべて求めなさい。

例題 14.3   写像 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2-2x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $f^{-1}(\{0\})$ を求めなさい。
2. $f^{-1}(\{1\})$ を求めなさい。
3. $f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
4. $f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
5. $f$ によって $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に同値関係 $\sim_f$ が
   $$x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)$$
   により定まる。この $\sim_f$ により $3$ と同値になる $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元を すべて求めなさい。

例題 14.4   写像 $f:X\to Y$ が与えられているとする。 このとき

1. $X$ の任意の部分集合 $A,B$ にたいして、 $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ が成り立つことを示しなさい。
2. $X$ の任意の部分集合の族 $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ にたいして、 $f^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda =\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ が成り立つことを示しなさい。

3. $X$ の任意の部分集合の族 $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ にたいして、 $f^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda =\bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(A_\lambda)$ が成り立つことを示しなさい。

◎ 濃度。

定理 14.5   任意の集合 $X$ に対して、$X$ の部分集合全体の集合 $2^X$ は、$X$ よりも 濃度が真意大きい。