論理と集合要約 No.9

第9回目の主題 :

定義 9.1 (再)   写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して、その $f$ による 像(順像とも言う) $f(A)$ を
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   で定義する。

2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して、その $f$ による逆像 ${f}^{-1}(B)$ を
   $${f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   により定義する。

$f(A)$ は、「$A$ の元を $f$ で送ったモノの全体」、 ${f}^{-1}(B)$ は 「$f$ で送って $B$ に入るモノの全体」と唱える癖を つけておくと扱い易い。

${f}^{-1}$ は(見かけによらず)集合論的には使いやすい。 つまり、${f}^{-1}$ はさまざまな集合算と可換である。

命題 9.2   写像 $f: X\to Y$ に対して、次のことを示しなさい。

1. 任意の $B_1, B_2 \subset Y$ に対して、 ${f}^{-1}(B_1\cap B_2)={f}^{-1}(B_1)\cap {f}^{-1}(B_2)$ .
2. 任意の $B_1, B_2 \subset Y$ に対して、 ${f}^{-1}(B_1\cup B_2)={f}^{-1}(B_1)\cup {f}^{-1}(B_2)$ .
3. 任意の $B\subset Y$ に対して、 ${f}^{-1}(\complement B)= \complement({f}^{-1} (B))$ .
4. $Y$ の無限個の部分集合族 $\{B_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、
   $${f}^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambd... ...a \in \Lambda} B_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} {f}^{-1}( B_\lambda).$$

$f$ の像については一部の集合算と可換ではない。 詳しくは集合論の本を見ればよいが、 さしあたっては実例が現れた時にその都度考えるぐらいで 十分だろう。次の諸問題も参照のこと。

問題 9.1   $X =\{0,1,2,3,\dots, 20\}$ , $Y=\{0,1,2,\dots,10\}$ とおき、 $f: X\to Y$ を

$f(x)=$ ($x$ を $5$ で割った余り)

で定義する。このとき、

1. $A_1=\{0,1\}$ とおく。$f(A_1)$ を求めよ。
2. $A_2=\{0,11\}$ とおく。 $f(A_2)$ をもとめよ。
3. $f(A_1 \cap A_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$ だろうか?)
4. $f(A_1 \cup A_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$ だろうか?)
5. $B_1=\{0,3\}$ とおく。 $f^{-1}(B_1)$ をもとめよ。
6. $B_2=\{0,5\}$ とおく。 $f^{-1}(B_2)$ をもとめよ。
7. $f^{-1}(B_1 \cap B_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ だろうか?)
8. $f^{-1}(B_1 \cup B_2)$ をもとめよ。 (この例の場合、 $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$ だろうか?)

問題 9.2   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、つぎの各問に答えよ。

1. $A_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert\leq 1$    and $\vert y\vert\leq 1\}$ にたいして、 $f(A_1)$ を求めよ。
2. $A_2=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; (x-1)^2+(y-3)^2\leq 1 \}$ にたいして、 $f(A_2)$ を求めよ。
3. $f(A_1 \cap A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。
4. $f(A_1)\cap f(A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。
5. $f(A_1 \cup A_2)$ を求め、グラフの概形を描け。

問題 9.3   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3 \ni (x,y,z)\to (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、

1. ${f}^{-1}(\{(0,0)\})$ を求め、グラフの概形を描け。
2. ${f}^{-1}(\{1,1)\})$ を求め、グラフの概形を描け。
3. ${f}^{-1}(\{(x,y)\vert x^2+y^2\leq 1\})$ を求め、グラフの概形を描け。
4. ${f}^{-1}(\{(x,y)\vert\vert x+y\vert\leq 1\})$ をもとめ、グラフの概形を描け。

◎直積集合

次のことは今回の本題とは離れるが、 説明し損なったのでここで定義を書いておく。

一般に, 元 $x$ と 元 $y$ を順序をつけて並べたもの $(x,y)$ を $x,y$ のペア(組)と呼ぶ。 $x,y$ が実数の場合には開区間と全く同じ記号になってしまっていて、 紛らわしいのだが、 区別するときには「区間 $(x,y)$ 」,「ペア(組) $(x,y)$ 」と前につけると 良いだろう。

定義 9.3   集合 $X,Y$ に対して、$X$ の元と $Y$ の元のペアの全体の集合

$$\{(x,y); x \in X , y\in Y\}$$

を $X$ と $Y$ の直積集合といい、 $X\times Y$ で書き表す。

もっと一般に、 集合族 $\{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ に対して、

$$\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}$$

を $\{X_\lambda\}$ の直積集合といい、 $\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ で書き表す。