�����Ƚ������� No.6

��6���ܤμ��� :

����򰷤��ݤ� �ġ��θ�����Ф��� �������������Ǿ������롣

�㤨�С� $A=6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $B=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ������ơ� $A \subset B$ �򼨤��ˤϡ�

1. $A$ �γƸ� $x$ �ˤĤ��ơ�
2. $x=6 n =2 (3 n)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
3. $x=2(3n)\in B$ �ȷ������롣

�Ȥ������ƥåפ�Ƨ��Τ��ä���

Ʊ�ͤˡ� $A_2=\{ x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\vert x>20 \}$ , $B_2=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\vert x^4 -7 x -9 >0\}$ ���Ф��ơ� $A_2 \subset B_2$ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ë¤Ï¡ï¿½

1. $A_2$ �γƸ� $x$ �ˤĤ��ơ�

2. $$x^4-7x-9 \geq x^4 - 10 x^3 -10 x^3 \geq x^3 (x-20) > 0$$
   �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤���
3. $x\in B_2$ �ȷ������롣

���ɤ���

���� 6.1   �·�����¿�༰ $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \dots +a_1 x + a_0$ ���� $a_n>0$ ���������Ȥ��롣 $M= \frac{n}{a_n}\max\{\vert a_n\vert,\vert a_{n-1}\vert ,\vert a_{n-2}\vert,\dots, \vert a_0\vert\}$ �Ȥ����ȡ�

$$\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\vert x >M \} \subset \{x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\vert f(x) >0\}$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

����ΰ������Ǥ�Ʊ�͡�

���� 6.2   ���� $A,B,C,D$ ���Ф��ơ�

$$(A \subset C$$$$\text { and } B \subset D )\implies A\cup B \subset C \cup D$$

�򼨤��ʤ�����

���� 6.3   ���� $X,Y,Z$ ���Ф��ơ� $X \subset Y \implies Z \setminus X \supset Z \setminus Y$ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.4   ����² $\{A_i\}, \{B_i\}$ ��Ϳ����줿������޴ط�

$$(\cup A_i) \setminus (\cup B_i) \subset \cup (A_i \setminus B_i)$$

�����

$$(\cap A_i) \setminus (\cap B_i) \supset \cap (A_i \setminus B_i)$$

�򼨤��ʤ�����

&dotfill#dotfill;

$v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �ˤ����������ΥΥ���

$$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots + v_n^2}$$

��������롣���ΤȤ��� $v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ , $w=(w_1,w_2,\dots, w_n)$ �ˤ������ơ�

$$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$$

���ʤꤿ�ġ�(������������)

���̤ˡ� $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �� $r>0$ ���Ф��ơ�

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

$$\bar{B}_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert\leq r\}$$

�Ȥ�����

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ����ʬ���� $U$ ��

$$\forall x \in U \exists r \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} \quad B_r(x) \subset U$$

���������Ȥ���(�̾����˴ؤ���)�������Ǥ���ȸƤФ�롣 ������Ȥϡ��ֶ�����ޤޤʤ�����פȤ������Ȥο���Ū��ɽ���Ǥ��롣

������Ȥ�����Τ�١����ˤ��ơ��ֱ󤤡סֶᤤ�ס֤Ĥʤ��äƤ���פʤɤ� ��ǰ�����Ū�˼�갷����褦�ˤ�����Τ�����������Ǥ��롣 ����������ϸ�����ؤˤ��������ѽ��פʰ��֤����Ƥ��ơ� �ʤ�ǿ��ؤ�ؤӤ����ͤϡ��㤨����ʬ��ʬ�ؤγؽ����¹Ԥ��Ƴؽ����Ƥߤ�Τ� ��������Ǥ��롣

�ֶ����פȤ������ռ��Τ����Ū��ɽ���Ǥ��뤬�� �����ǤϤ����ޤǤ�Ƨ�߹��ޤʤ����Ȥˤ��롣

���� 6.5   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��� $B_1(0)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �γ�����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.6   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ���ĵ� $\bar{B}_1(0)$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �γ�����ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.7   $\{(x,0) ; x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �γ�����ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.8   Ǥ�դ� $a,b \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ ��Ǥ�դ����ο� $r_1,r_2$ �ˤ������ơ� $B_ {r_1}(a)\cap B_{r_2}(b)$ �ϳ�����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.9  

$$\bigcap_{n=1}^\infty B_{1+1/n} (0)=\bar B_1(0)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���̤ˡ�������Σ��Ĥζ�����ʬ�ϳ���������� ̵�¸Ĥζ�����ʬ�ϳ�����Ȥϸ¤�ʤ���

���� 6.10   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ �γ�����Ǥ��뤳�Ȥϡ�������½���Ǥ��뤳�Ȥ�Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����