論理と集合要約 No.5

第5回目の主題 :

集合を扱う際は 個々の元を取り出し、 諸性質を論理で証明する。

例えば、 $A=6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $B=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ にたいして、 $A \subset B$ を示すには、

1. $A$ の各元 $x$ について、
2. $x=6 n =2 (3 n)$ であることを示し、
3. $x=2(3n)\in B$ と結論する。

というステップを踏む。

同様に、 $A_2=\{ x\in$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\vert x>20 \}$ , $B_2=\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\vert x^4 -7 x -9 >0\}$ に対して、 $A_2 \subset B_2$ を示すには、

1. $A_2$ の各元 $x$ について、

2. $$x^4-7x-9 \geq x^4 - 10 x^3 -10 x^3 \geq x^3 (x-20) > 0$$
   であることを示し、
3. $x\in B_2$ と結論する。

と良い。

問題 5.1   実係数の多項式 $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \dots +a_1 x + a_0$ が、 $a_n>0$ を満たすとする。 $M= \frac{n}{a_n}\max\{\vert a_n\vert,\vert a_{n-1}\vert ,\vert a_{n-2}\vert,\dots, \vert a_0\vert\}$ とおくと、

$$\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\vert x >M \} \subset \{x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\vert f(x) >0\}$$

が成り立つことを示しなさい。

集合の一般論でも同様。

問題 5.2   集合 $A,B,C,D$ に対して、

$$(A \subset C$$$$\text { and } B \subset D )\implies A\cup B \subset C \cup D$$

を示しなさい。

問題 5.3   集合 $X,Y,Z$ に対して、 $X \subset Y \implies Z \setminus X \supset Z \setminus Y$ を示しなさい。

問題 5.4   集合族 $\{A_i\}, \{B_i\}$ が与えられた時、包含関係

$$(\cup A_i) \setminus (\cup B_i) \subset \cup (A_i \setminus B_i)$$

および

$$(\cap A_i) \setminus (\cap B_i) \supset \cap (A_i \setminus B_i)$$

を示しなさい、