論理と集合要約 No.4

第4回目の主題 :

まずは論理の復習

問題 4.1   $\forall x >0( \exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x>y>0))$ は真だろうか、偽だろうか。 理由をつけて述べなさい。

問題 4.2   $\exists y >0( \forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x>y>0))$ は真だろうか、偽だろうか。 理由をつけて述べなさい。

論理復習ここまで

集合の関係を論理で述べることもよくある。

問題 4.3  

$$\forall x \in 5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{にたいして} ( x\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})\text{ がなりたつ}$$

は正しいだろうか?

集合と論理とは裏腹の関係にあるのであった。論理の $\forall$ や $\exists$ に対応する集合論的な概念も存在する。

定義 4.1   正の整数の全体 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ の一つ一つの元 $n$ に対して集合 $S_n$ が 与えられているとき、集合の列 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ が与えられているという。

同様に、集合 $\Lambda$ の一つ一つの元 $\lambda$ に対して集合 $S_\lambda$ が与えられたとき、集合の族 $\{S_\lambda\}_{\lambda \Lambda}$ が与え られたという。$\Lambda$ のことをこの族の添字集合と呼ぶ。

もちろん集合列は集合族の特別な場合である。 $\{S_n\}_{n\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}}$ のことを $\{S_n\}_{n=1}^\infty$ のように書いているのである。

定義 4.2   集合族 $\{ S_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ にたいして、 その和集合と共通部分を

$$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda =\{ x ; \forall \lambda \in \Lambda \quad (x \in S_\lambda)\}$$

$$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda =\{ x ; \exists \lambda \in \Lambda \quad (x \in S_\lambda)\}$$

により定義する。

集合列については、その共通部分

$$\bigcap_{n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}} S_n$$

のことを

$$\bigcap_{n=1}^\infty S_n$$

のごとく書くことも多い。和集合も同様。

問題 4.4  

$$\bigcap_{n=1}^\infty (0, \frac{1}{n}) =\emptyset$$

であることを示しなさい。 右辺の記号は空集合といって、元をひとつも持たない集合のことをさす 記号である。

問題 4.5  

$$\bigcap_{\epsilon>0} (-\infty, 1+\epsilon) =(-\infty, 1]$$

であることを示しなさい。 (左辺は堅苦しく書けば $$\bigcap_{\epsilon \in \mbox{${\mathbb{R}}$}_{>0}} (-\infty,1+\epsilon)$$ となるところであるが、上のように省略することが往々にしてある。)