論理と集合要約 No.3

第3回目の主題 :

◎ and, or の否定

問題 3.1       not $(P$$\text { and } Q)$ と $($ not $P)$$\text { or } (\text{ not } Q)$ とが 同値であることを真理表を用いて示しなさい。

◎ $P\implies Q$ の否定

$P\implies Q$ は $($ not $P)$    or $Q$ と同値であったので、 その否定は $P$    and $($not $Q)$ で与えられる。

◎ $\forall, \exists$ の否定

「すべての $X$ の元 $x$ について $P(x)$ が成り立つ」、すなわち

$$\forall x \in X \ (P(x))$$

の否定は 「ある $X$ の元 $x$ について $P(x)$ が成り立たない」、すなわち

$$\exists x \in X \ ($$ not $$P(x) )$$

である。

同様に、

$$\exists x \in X \ (P(x))$$

の否定は

$$\forall x \in X \ ($$ not $$P(x) )$$

である。

実際の場面では、上の$x\in X$ のように $x$ の制限を「集合の元か否か」 で書くとは限らず、そのまま条件で書くことも多い。以下の例を参照のこと。

例 3.1  

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ (\vert x-3\vert<\delta \implies \vert x^2-9\vert<\epsilon)$$

( $x \mapsto x^2$ が $x=3$ で連続であるという命題(真))の否定は

$$\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \ ( (\vert x-3\vert<\delta \implies \vert x^2-9\vert<\epsilon))$$ (★)

( $x \mapsto x^2$ が $x=3$ で連続でないという命題(偽)) である。 このように、$\forall$ や $\exists$ が散在する命題の否定は、

• 順序はそのままに、
• $\forall$ と $\exists$ を入れ替え、
• 最後の結論を否定する。

という手続きで得られる。

さらに、命題(★)は、(「P $\implies$ Q」の否定が 「 $P$ and( not $Q$ )」 であったことから、)

$$\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ (\vert x-3\vert<\delta$$    and $$\vert x^2-9\vert\geq \epsilon)$$

と書き換えられる。

問題 3.2   つぎの各々の命題の否定をそれぞれ述べなさい。

1. $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ (x+ y=0)$
2. $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall z \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ (x y\neq z)$

集合 $X$ と $S$ が与えられたとき、

$$X\setminus S= \{ x; x \in X$$    and $$x \notin S\}$$

を $X$ と $S$ の差集合という。 ($X-S$ と書く流儀もあり、本講義の教科書では そう書いてある。)

とくに、$S$ が $X$ の部分集合の時、 $X\setminus S$ を $X$ における補集合 とよぶ。 $X$ が分かりきっているときには $\complement S$ と書くこともある。