代数学II要約 No.7

第7回目の主題 :

補題 7.1   PID $A$ 上の加群 $M$ の元の組 $\underline x= (x_1,x_2,\dots,x_k)$ が与えられているとする。さらに、 $\underline x$ の関係式 $\underline{a}=(a_1,\dots,a_k)$ および $\underline{b}=(b_1,\dots,b_k)$ が与えられているとする。 つまり、２つの関係式

$$\begin{cases} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_k x_k=0 \\ b_1 x_1 + b_2 x_2 + \dots + b_k x_k=0 \\ \end{cases}$$

が与えるとする。内積の記法の真似をして、このことを $\underline{a} \cdot \underline{x} =0$ , $\underline{b} \cdot \underline{x} =0$ と表記しよう。 このとき、ある $p,q,r,s \in A$ が存在して、次のことが成り立つ。

1. $p s -q r = 1.$
2. $p a_1 + q b_1= \gcd(a_1,b_1)$ .
3. $r a_1 + s b_1=0$ .

そこで、 $\underline{c}= p \underline{a} + q \underline{b}$ , $\underline{d}=r\underline{a}+ s \underline{d}$ とおくと、 $\underline c,\underline d$ は $\underline a,\underline b$ と同等の 関係式(つまり、互いに他から導かれる関係式)で、

$$c_1=\gcd(a,b),\quad d_1=0$$

をみたす。

補題 7.2   PID $A$ 上の有限生成加群 $M$ が与えられているとし、 No.6 の記法を用いることとする。 $\underline{x}\in \mathcal S_M$ と、そのみたす関係式 $\underline a$ ( $\underline a \cdot \underline x=0$ をみたす $\underline a$ ) の組 を全て考える。これらの全ての組み合わせについて、 $\gcd(\underline{a})=\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)$ を考えた時、それらの中で(整除に関して) 極小なものが存在する。 その一つを以下 $d_0$ と書こう。このとき、

1. $d_0=0$ なら $M$ は自由加群である。 以下、$d_0\neq 0$ とする。

2. ある $\underline u=(u_1,u_2,\dots, u_k) \in \mathcal S_M$ が存在して、
   $$d_0 \cdot u_1=0$$
   なる関係式が成立する。以下この $\underline{u}$ について考える。
3. $\underline{u}$ の任意の関係式 $(a_1,a_2,a_3,\dots, a_k)$ について、 その各成分 $a_1,a_2,\dots, a_k$ は各々 $d_0$ で割り切れる。
4. $M$ は $A u_1$ と $A u_2+\dots+ A u_k$ の直和と同型である。

この補題を用いると、前回の定理よりすこし強い主張をすることができる。

定理 7.3   可換 PID $A$ 上の有限生成加群 $M$ が与えられているとする。 このとき、$M$ の生成系 $\underline{m}=\{m_1,m_2,\dots, m_k\}$ にたいして、 $\underline m$ を(変換1),(変換2),(変換3)を有限回繰り返すことにより、 $M$ の新しい生成系 $\underline w$ であって、

$$M \cong Aw_1 \oplus A w_2 \oplus \dot... ..._1 A \oplus A /a_2 A \oplus \dots \oplus A /a_k A \qquad(a_1,\dots, a_k \in A)$$

(巡回加群の直和)となるものが存在する。

さらに、上の同型は $a_k \vert a_{k-1} \vert a_{k-2} \vert \dots \vert a_2 \vert a_1$ となるように取れる。

系 7.4 (有限生成アーベル群の基本定理)   任意の有限生成アーベル群 $G$ は巡回群の有限個の直和である。 もっと詳しくは、$G$ は

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/a_1 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{... ...{Z}}$}}\oplus \dots \oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/a_k {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

( $a_1,a_2,\dots,a_k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ) という加群とアーベル群として同型である。

系7.4の応用として、次の定理を挙げておく。

定理 7.5   体 $K$ の乗法群 $K^\times$ の有限部分群は常に巡回群である。 とくに、有限体の乗法群はかならず巡回群である。