代数学II要約 No.6

第6回目の主題 : PID 上の有限生成加群

定義 6.1   環 $A$ 上の加群 $M$ の元 $m_1,m_2,\dots, m_k$ に対して、 $A$ -準同型

$$\varphi: A^{\oplus k} \ni \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_k \end{pmatrix}\mapsto \sum_{j=1}^k {a_j. m_j}$$

の核 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ の元のことを $m_1,m_2,\dots, m_k$ の関係式と呼び、 その全体のなす加群 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ のことを $m_1,m_2,\dots, m_k$ の関係式のなす加群と呼ぶ。

以下では、次のような変換を考える。

変換1.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の順序を入れ換える。

変換2.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに それを $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in {\operatorname{GL}}_2(A)$ で「ひねった」

$$\{a. m_1+b.m_2,c.m_1+ d.m_2,m_3,\dots,m_k\}$$

を考える。

変換3.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに $m_1$ を

$$m_1'= m_1+ a_2 m_2+ a_3 m_3 + \dots+ a_k m_k$$

に置き換えたもの $\{m_1', m_2,m_3,\dots, m_k\}$ を考える。

(変換3)は(変換1), (変換2)を有限回組み合わせて得られることが わかるので 以下の議論で必須ではない。

定義 6.2 (この講義だけで通じる記号)   可換 PID $A$ と、その上の加群 $M$ が与えられていて、 $M$ は $A$ 上 $m_1,m_2,\dots, m_k$ で生成されているとする。 $m_1,m_2,\dots, m_k$ を(変換1), (変換2), (変換3) を 有限回繰り返して得られる $M$ の元の組 $(m_1,m_2,\dots,m_k)$ の全体を $\mathcal S_M$ と書くことにする。

補題 6.3 (変換1)   ,(変換2),(変換3)の形の変換は(同じ形の)逆変換をもつ。 とくに、 $\mathcal S_M$ の各元 $\underline{x}=(x_1,x_2,\dots, x_k)$ にたいして、 $\{x_1,x_2,\dots,x_k\}$ も $M$ を生成する。

補題 6.4   $\underline{x}=\{x_j\}\in \mathcal S_M$ が、関係式

$$\sum_j a_j x_j=0$$

を満たしたとする。

$$d=\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)$$

とおいて、

$$a_j=d a_j' \qquad( a_j \in A, j=1,2,\dots k)$$

と書こう。このとき、

$$y_1=\sum_j a_j' x_j$$

を最初の元として持つような $\mathcal S$ の元 $y_1,y_2,\dots,y_k$ が存在する。 この $y_1$ は $d \cdot y_1=0$ を満たすことにも注意しよう。

補題 6.5   $\underline{x}\in \mathcal S_M$ と、その関係式 $(a_1,\dots,a_k)$ を全て考える。これらの全ての組み合わせについて、 $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)$ を考えた時、それらの中で(整除に関して) 極小なものが存在する。 その一つを以下 $d_0$ と書こう。このとき、

1. $d_0=0$ なら $M$ は自由加群である。 以下、$d_0\neq 0$ とする。

2. ある $(u_1,u_2,\dots, u_k) \in \mathcal S_M$ が存在して、
   $$d_0 \cdot u_1=0$$
   なる関係式が成立する。
3. $\underline{u}$ の任意の関係式 $(a_1,a_2,a_3,\dots, a_k)$ について、 その各成分 $a_1,a_2,\dots, a_k$ は各々 $d_0$ で割り切れる。
4. $M$ は $A u_1$ と $A u_2+\dots+ A u_k$ の直和と同型である。

定理 6.6   可換 PID $A$ 上の有限生成加群 $M$ が与えられているとする。 このとき、$M$ の生成系 $\underline{m}=\{m_1,m_2,\dots, m_k\}$ にたいして、 $\underline m$ を(変換1),(変換2),(変換3)を有限回繰り返すことにより、 $M$ の新しい生成系 $\underline w$ であって、

$$M \cong Aw_1 \oplus A w_2 \oplus \dots A w_k$$

(巡回加群の直和)となるものが存在する。

一つの元で生成される加群を巡回加群と呼ぶのでした。

補題 6.7   任意の環 $A$ に対して、次のことが言える。

1. 任意の $A$ の左イデアル $J$ にたいして、 $A/J$ は巡回加群である。
2. 任意の巡回加群は(1)で述べたようなものと同型である。

命題 6.8 (定理の言い換え)   可換 PID $A$ 上の任意の有限生成加群 $M$ は巡回 $A$ 加群の直和に同型である。 ゆえに、ある $c_1,c_2,\dots, c_k \in A^k$ と

$$M\cong A/Ac_1 \oplus A/A c_2 \oplus \dots \oplus A/A c_k$$

なる同型が存在する。

(ただの)加群は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群のことと同じであって、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は $PID$ であることから、 つぎの(大変有用かつ重要な)系が成り立つ。

系 6.9 (有限生成アーベル群の基本定理)   任意の有限生成アーベル群は巡回群の有限個の直和である。

命題 6.10   可換 PID $A$ のイデアルの増加列

$$I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset I_4 \subset \dots$$

は必ず有限で止まる。すなわち、ある $N$ があって、

$$I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\dots$$

が成り立つ。