代数学II要約 No.2

第2回目の主題 : 環の上の加群の定義(2)

環と、その上の加群について、前回は「フォーマルな」定義を述べた。 実際には、次のことをわきまえていればそれほど間違えることはない。

1. 環 $A$ とは、その中で足し算、引き算、かけ算ができるような集合である。
2. $A$ -加群 $M$ とは、その中で足し算、引き算、および $A$ の元による作用(「スカラー倍」)ができるような集合である。

例 2.1   環 $A$ が与えられたとき、正の整数 $n$ にたいし、 $A$ の元を $n$ 個縦に並べた「ベクトル」の全体 $A^n$ は $A$ -加群とみなせる。 具体的には、

1. 和
   $$% latex2html id marker 1061\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \... ..., \\ &\forall y_1,\dots \forall y_n \in A. \end{aligned}\right)$$

2. 作用(スカラー倍)
   $$% latex2html id marker 1063a. \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\... ... &\forall x_1,\dots \forall x_n \in A. \\ \end{aligned}\right)$$

上の例で $n=1$ のときを考えれば、$A$ 自身も $A$ -加群とみなせることが わかる。

定義 2.2   上の $A^n$ のことを $A$ 上の(階数 $n$ の)自由加群と呼ぶ。

補題 2.3   環 $A$ 上の加群 $M$ に対して、つぎのことがなりたつ。

1. $M$ の ゼロ元は唯一つである。これを $0_M$ (もしくは単に 0 ) と書く。
2. $A$ の任意の元 $a$ にたいして、 $a.0_M=0_M$ がなりたつ。
3. $M$ の各元 $x$ にたいして、 $x$ の和に関する逆元(マイナス元)は 唯一つ存在する。これを $-x$ と書くのであった。
4. $A$ の任意の元 $a$ と、$M$ の任意の元 $m$ にかんして、
   $$(-a).(-m)=a.m$$
   が成り立つ。

「$A$ 加群 $M$ 」を思いうかかべるとき、 はじめはベクトル空間をイメージしても 良いだろう。 ただし、つぎのことがベクトル空間とは決定的に異なる。

1. 環 $A$ の積は可換とは限らない。 (これは $A$ が可換環であるような状況ならば回避できる。)

2. 環 $A$ の元で割れるとは限らない。

というわけで、加群を学ぶときには、ベクトル空間の性質を思い出しつつ、 加群の場合の違いを意識しながら学ぶと良いだろう。

次の定義はベクトル空間の間の線型写像の類似と考えて良い。

定義 2.4   $M_1,M_2$ が $A$ -加群のとき、写像 $f: M_1\to M_2$ が $A$ -準同型($A$ -加群としての準同型))であるとは、 つぎの条件が満足されるときに言う。

Hom1.

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Hom2.

$f(a.x)=a.f(x)$

定義 2.5   $A$ -加群 $M$ にたいして、 $N$ が $M$ の $A$ -部分加群であるとは、 次の2条件が同時に満足されているときに言う。

SM1.

$N$ は $M$ の部分集合である。

SM2.

$N$ はそれ自身 $A$ -加群の構造をもつ。

SM3.

包含写像 $j:N \hookrightarrow M$ は $A$ -加群の準同型である。

命題 2.6   $A$ -加群 $M$ と $M$ の部分集合 $N$ にたいして、 次の2条件は同値である。

1. $N$ は $M$ の $A$ -部分加群である。
2. $N$ は和、差、$A$ の元による作用について閉じている。

例 2.7   $3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -部分加群である。

もっと一般に、

定義 2.8   環 $A$ にたいして、$A$ 自身を $A$ -加群とみなしたものの部分加群 $J$ を $A$ の左イデアルと呼ぶ。別の言い方をすると、$A$ の左イデアル $J$ とは、 $A$ の部分集合であって、次の条件を満たすもののことである。

LI1.

$0_A \in J$ .

LI2.

$x,y \in J \implies x+y\in J ,\quad x-y \in J$ .

LI3.

$a\in A, x\in J \implies a x \in J$ .

$A$ が可換環のときには、左イデアルとイデアルは同じものである。

定義 2.9   $A$ -加群 $M$ とその $A$ -部分加群 $N$ が与えられているとする。 このとき $M$ の $N$ による商加群 $M/N$ は自然に $A$ -加群の構造をもつ。

問題 2.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -加群 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ -部分加群 $3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ による剰余加群 $M={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 $M$ の各元 $x$ は 「$11$ で割る」ことが できること、すなわち、

$$\forall x\in M \exists y \in M ;\quad 11. y= x$$

を示しなさい。