�����III���� No.11

����

$\alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$ , $\beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$ �Ȥ����Ȥ��� $c\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $c\neq -1,2$ �ʤ��

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\alpha+c\beta)=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{3},\sqrt{5}).$$

[����] ���Υ��ƥåפǾ������롣

1. $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}):$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$]=2.$
2. $\sqrt{5}\notin$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})$
3. $[$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3},\sqrt{5}):$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3})]=2$ .
4. $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3},\sqrt{5})$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Υ���������Ǥ��äơ� ���γ��缡���� $4$ .
5. $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ �θ� $\sigma$ �� $\sqrt{3}$ �ιԤ��� $\sigma(\sqrt{3})$ ( $\sqrt{3},-\sqrt{3}$ �����̤ꡣ) �� $\sqrt{5}$ �ιԤ��� $\sigma(\sqrt{5})$ ( $\sqrt{5},-\sqrt{5}$ �����̤�) �ˤ����ޤ롣�����⡢����� ( $2 \times 2=$ ) 4�̤���Ȥ߹�碌�� ���٤ƥ��������θ� �Ȥ��Ƹ���롣
6. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3},\sqrt{5})$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥδ���Ȥ��� $\{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$ ���뤳�Ȥ��Ǥ��롣
7. $c\neq -1,2$ �ʤ顢 �������� $\operatorname{Gal}(L/$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ �θ��ǡ� $\alpha+c \beta$ ��ư�����ʤ���Τϡ� ����������ñ�̸�(��������)�˸¤롣

��Τ褦�ˡ� �������������Τä���Ǥʤ顢������������Ƥ�ʬ����䤹���ʤ롣 (�������꼫�Τϡ������������ι��ۤ��Τ�Τ�ɬ�פǤ��ä��Τǡ� �������δ�������(�������б�)���Ѥ����˾�������ɬ�פ����ä���)

補題 11.1 (����6.8�Ʒ�)   $K$ ��̵�¸Ĥθ�������ΤȤ��롣 $K$ ������Ū�ʸ� $\alpha,\beta$ �����Ȥ�� $K$ ��ʬΥŪ�ʤ��

$$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta)$$

��ߤ��� $c\in K$ �����ʤ��Ȥ�ҤȤ�¸�ߤ��롣

��ź���ˤĤ��ơ�

���Τ褦�����������롣

$$\sqrt{3+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{12+2\... ...0}}}{2} =\frac{\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2}}{2} =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$$

�Ĥޤꡢ $\sqrt{3+\sqrt{5}}$ �ϡ����դΤ褦�˴�ñ���Ǥ��롣 �������ź����Ϥ����Ȥ����� Ʊ�ͤˡ����Τ褦������������Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

$$\sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{6}-1,\quad \sqrt{3+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-1,\quad$$

�����ǡ� $\sqrt{3+ \sqrt{7}}$ �Ͼ�Τ褦�ˤϴ�ñ�ˤʤ�ʤ��� ����ϡ����Τ褦�������Ǥ��롣

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Υ��������� $L$ �ǡ� $\alpha=\sqrt{3+\sqrt{7}}$ �� ���Ȥ��ƴޤ��Τϡ� $\sqrt{3-\sqrt{7}})$ �⸵�Ȥ��ƴޤࡣ
2. $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3+\sqrt{7}},\sqrt{3-\sqrt{7}})$ .
3. $L \supset$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{7},\sqrt{2})$ .
4. $[L:$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{7},\sqrt{2})]=2$ .
5. �⤷��$\alpha$ ��ͭ���� $x,y$ �Ǥ�ä� $\sqrt{x},\sqrt{y}$ ��ͭ��������ͭ�����Ȥ��Ƥ�����ʤ顢 $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{x},\sqrt{y})$ �� �ʤäơ���λ��¤�̷�⤹�롣

[�������б��ξ���]

�� $K$ �Υ��������� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ����ʬ�� $H$ ���Ф��ơ�

$$\mathcal F(H) = \{ x \in L; g.x = x (\forall g \in H)\}$$

��������롣$L$ �� $K$ ������� $M$ ���Ф��ơ�

$$\mathcal G(M)=\{ g \in G; g.x=x (\forall x \in M)\}$$

��������롣���λ������Τ��Ȥ�����Ω�ġ�(ñĴ������)

1. $G$ ��Ǥ�դ���ʬ�� $H_1,H_2$ ���Ф��ơ�
   $$H_1\subset H_2 \implies \mathcal F (H_1)\supset \mathcal F(H_2).$$

2. $L/K$ ��Ǥ�դ������ $M_1,M_2$ ���Ф��ơ�
   $$M_1\subset M_2 \implies \mathcal G (M_1)\supset \mathcal G(M_2).$$

3. $G$ ��Ǥ�դ���ʬ�� $H$ �ˤ������ơ�
   $$\mathcal G (\mathcal F(H)) \supset H.$$

4. $L/K$ ��Ǥ�դ������ $M$ ���Ф��ơ�
   $$\mathcal F(\mathcal G(M))\supset M.$$

�¤ϡ���� (1)-(4) ���顢��������Ū�ʷ׻��Ǽ��Τ��Ȥ�����Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

("3��=1��")

1. $G$ ��Ǥ�դ���ʬ�� $H$ �ˤ������ơ�
   $$\mathcal F (\mathcal G (\mathcal F(H))) =\mathcal F(H).$$

2. $L/K$ ��Ǥ�դ������ $M$ ���Ф��ơ�
   $$\mathcal G (\mathcal F(\mathcal G(M)))=\mathcal G(M).$$

�����������Ǥϡ�����˼��Τ��Ȥ�ʬ���롣(����ñĴ������)

1. $G$ ��Ǥ�դ���ʬ�� $H_1,H_2$ ���Ф��ơ�
   $$H_1\subset H_2, \mathcal F(H_1)= \mathcal F(H_2) \implies H_1=H_2$$
   (����9.4�ˤ�롣)
2. $L/K$ ��Ǥ�դ������ $M_1,M_2$ ���Ф��ơ�
   $$M_1\subset M_2 , \mathcal G (M_1)=\mathcal G(M_2) \implies M_1 = M_2.$$
   (̿��8.4�ˤ�롣)

���Τ��Ȥ��顢�Ǹ�˼��Τ��Ȥ�ʬ���롣

("2��=0��")

1. $G$ ��Ǥ�դ���ʬ�� $H$ �ˤ������ơ�
   $$\mathcal G (\mathcal F(H)) = H.$$

2. $L/K$ ��Ǥ�դ������ $M$ ���Ф��ơ�
   $$\mathcal F(\mathcal G(M))=M.$$