�����III���� No.09

�����Υơ���:

�� $K$ �Υ��������� $L$ ��ͤ���ȡ�$L$ �� $K$ ��ΤҤȤĤθ��������������� (��6.9), �������� $\operatorname{Gal}_(L/K)=\operatorname{Hom}_K(L,L)$ �θ��θĿ��ϳ��缡�� $[L:K]$ �� ���פ���ΤǤ�����(����7.2,̿��7,3�����ơ�̿��8.4�Ȥ��ƤޤȤޤäƤ��롣)

��� 09.1   �� $K$ �Ȥ��γ����� $L$ ��Ϳ����줿�Ȥ���$L$ ����ʬ�� $M$ �ǡ� $K$ ����ʬ�ΤȤ��ƴޤ��ΤΤ��Ȥ� $L$ �� $K$ �������� ������ȸƤ֡�

���� 09.2   �� $K$ ��ͭ�¼����������� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� $K$ �� $L$ ������� $M$ ������

1. $L$ �� $M$ ��ͭ�¼�����������Ǥ⤢�롣
2. �������� $H=\operatorname{Gal}(L/M)$ �� �������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ����ʬ�� �Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ��롣

��� 09.3   �� $K$ ��ͭ�¼����������� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� �������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ����ʬ�� $H$ ���Ф��ơ�

$$L^H=\{ x \in L;\quad \sigma(x)=x \qquad (\forall \sigma \in H)\}$$

�Ȥ���������� $K$ �� $L$ ������ΤǤ��ꡢ ����� $H$ ��������(�⤷���� ������)�ȸƤ֡�

���� 09.4   �� $K$ ��ͭ�¼����������� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� �������� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ ����ʬ�� $H$ ���Ф��ơ�

1. $M=L^H$ �� $K$ �� $L$ ������ΤǤ��롣
2. $\vert L:K\vert=\vert H\vert$ .

���� 09.5   �� $K$ ��ͭ�¼������������� $L$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ �� ��ʬ�� $H$ �ȡ�$K$ �� $L$ �Τ�����������ΤȤϾ����Ĥ�����ˤ����б��� ���а���б����롣

�� 09.6   �� $K$ �� �� $K$ ��ͭ�¼������������� $L$ ��Ϳ����줿�Ȥ���$K$ �� $L$ �������� ����Τ�ͭ�¸Ĥ����ʤ���

���� 09.1   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ �� $K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Τ�����������Τǡ� $L$ �Ȥ� $K$ �Ȥ�ۤʤ��Τ�ҤȤĵ󤲤衣 ��ͳ��ñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¡ï¿½

���� 09.2   ����ǡ�����Τò¤¹¤Ù¤Æµó¤²¤è¡£