�����III���� No.7

�����Υơ���:

�� $K$ ���ʬΥ���Ū�ʸ� $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s$ ���Ф��ơ� $L=K(\alpha_1,\dots ,\alpha_s)$ �θ� $\gamma$ ��¸�ߤ��ơ� $L=K(\gamma)$ �ȤǤ���ΤǤ��ä��� ���� $\gamma$ �� $K$ ��ʬΥŪ�˼��롣

�� $K$ �γ����� $M$ �� $\Omega$ �Ȥ�����Ȥ��� $M$ ���� $\Omega$ �ؤ� $K$ -Ʊ�� �ο�������뤳�Ȥˤ�ꡢ$M$ ����������������ʬ���롣�����Ϥ�����á�

��� 7.1   $M$ ���� $\Omega$ �ؤ� $K$ -Ʊ�������Τν����

$$\operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{algebra}}}(M,\Omega)$$

�Ƚ񤯡�

�ޤ� $M$ �� $K$ ��ñ�����ΤȤ����� �ͤ��Ƥߤ褦��

���� 7.2   �� $K$ ������Ū�� $\alpha$ �κǾ�¿�༰�� $m(X)$ �Ȥ����� $K$ ����� $\Omega$ �ˤ������ơ� $\Omega$ ��� $m$ ��ò¡¢½ï¿½Ê£ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�Ĥޤ��ʣ���������)�ʤ�٤���Τ� $\gamma_1,\dots, \gamma_s$ �Ȥ���ȡ�$K(\alpha)$ ���� $\Omega$ �ؤ� $K$ -Ʊ���Ϥ��礦�� $s$ ��¸�ߤ��롣 �Ȥ��ˡ� $s\leq [K(\alpha):K]$ �ǡ�����ϼ�����Ĥξ�郎�Ȥ������Ω�ĤȤ��� �����Ƥ��ΤȤ��˸¤�ʤꤿ�ġ�

1. $\alpha$ �� $K$ ��ʬΥŪ�Ǥ��롣
2. $\Omega$ �� $m$ ��ʬ���ΤǤ��롣

�������ϡ� $\Omega$ ����ʬ�礭���Ȥ��ˤ� $\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)$ �� ���ο���ʬΥ����Ƚ��˻Ȥ��뤳�Ȥ򼨺����Ƥ��롣 ���������٤��Ѥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ���Τ��Ȥ������Ǥ��롣

̿�� 7.3   $K$ �����Ū�ʸ� $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ �� $K$ ����� $\Omega$ �ˤĤ��ơ� $M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½

$$\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)\leq [M:K].$$

$\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ �����٤� $K$ ��ʬΥŪ�ǡ� $\Omega$ �� �����κǾ�¿�༰���٤Ƥ�ʬ���Τʤ�С����椬����Ω�ġ�

����äȥȥ�å������������Τ��Ȥˤ����դ��Ƥ�������

���� 7.4   $K$ ����� $M$ �Τɤ줫�ҤȤĤθ� $\alpha$ �� $K$ ����ʬΥŪ�Ǥ���ʤ�С�

$$\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(M,\Omega)< [M:K].$$

������ $K(\alpha)$ �ǰ�ö���沼�֤��뤳�Ȥˤ�������롣���ηϤ� ʬΥ����Ƚ�꤬�����������ǺѤळ�Ȥ򼨤��Ƥ��ꡢ���ڤǤ��롣

�� 7.5   $K$ �����Ū�ʸ� $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ �� $K$ ��ʬΥŪ�ʤ�� $M=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_t)$ ��� ���٤�ʬΥŪ�Ǥ��롣

���礭���Ρ�$\Omega$ ����äƤФ��ꤤ������ݤǤ��롣 ������ӽ����뤿���(�������¾����ͳ�⤢�뤬���Τ褦�ʤ�Τ�ͤ��롣

��� 7.6   $K$ ������������ $L$ �� $K$ �����������Ǥ���Ȥϡ� $L$ ��Ǥ�դθ���Ǥ�դζ��� $L$ ��°����Ȥ��ˤ����� ����������ȡ������ $L$ �γƸ��� $K$ ��κǾ�¿�༰��ɬ�� $L$ ��� �켡�����Ѥ�ʬ�ò¤µ¤ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤Ç¤ï¿½ï¿½ë¡£

��� 7.7   �� $K$ ��ʬΥŪ�Ǥ����������������������������ȸƤ֡�

�� $K$ �Υ��������� $M$ ��Ϳ����줿�Ȥ���ȡ� ��� $\Omega$ �Ȥ��ƻȤäƤ�����Τ������ $M$ ���Ȥ�Ȥ��뤳�Ȥ� �狼�롣

���� 7.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{7})$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����������Ǥ��뤳�Ȥ�����˽��äƳ�ǧ���ʤ�����