�����III���� No.3

�����Υơ���:

���̤ˡ� ʣ�ǿ��� ${\mathbb{C}}$ ��¿��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ʳ����� $K$ �Ǥ⡢��������ǽ��ä��Ϥ��� ���������ʻ���(�������֡�����Ȥ��μ�괹�������������������Ȥ��ι���ɽ���ʤ�) �����Τޤ޻Ȥ��뤳�Ȥ����դ��Ƥ��������ۤʿͤϤ����Ǿ����������Ƥ����� �ɤ����⤷��ʤ���

��� 3.1   $K$ �� ������ $L$ �� $K$ ��Υ٥��ȥ���֤ι�¤����ġ� �����ǡ� $L$ �� $K$ -�٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥμ����Τ��Ȥ� $L$ �� $K$ ������缡�� �Ȥ����� $[L:K]$ �ǽ�ɽ���� $[L:K]<\infty$ �ΤȤ���$L$ �� $K$ ��ͭ�¼������Ǥ���ȸ�����

����̿����Τγ��缡������������Ū�ʰ�̣�����餫�ˤ��롣

̿�� 3.2   �� $K$ ����� $L$ �� $L$ �θ� $\alpha$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1. $d=[K(\alpha):K]$ ��ͭ�¤Ǥ��뤳�Ȥȡ� $\alpha$ �� $K$ �����Ū�Ǥ��뤳�Ȥ� Ʊ�ͤǤ��롣
2. $d<\infty$ �ʤ顢$d$ �� $\alpha$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰�μ�������������

̿�� 3.3  

1. �� $K,L_1,L_2$ �� $K\subset L_1 \subset L_2$ ��ߤ����ʤ�� ���缡���δ֤�
   $$[L_2:K]=[L_2:L_1][L_1:K]$$
   �Ȥ����ط���������Ω�ġ�
2. �� $K$ ��ͭ�¼������� $L$ �θ������� $K$ �����Ū�Ǥ��롣

���� 3.4   �� $K$ �ȡ����γ����� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$L$ �� ���ǡ�$K$ �����Ū�ʸ�Ʊ�Τ��¡������ѡ����Ϥޤ� $K$ �����Ū�Ǥ��롣�Ĥޤꡢ$L$ ��� $K$ �����Ū�ʤ�Τ����� ���Τ�ʤ���

��� 3.5   �� $K$ �Ȥ��γ����� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ� $L$ �θ� $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ �� $K$ ���դ��ä��ƤǤ����� (����������� $K$ �� $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ ��ޤ�褦�� $L$ �� ��ʬ�ΤΤʤ��ǡ��Ǿ��Τ��)�� $K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½ (�� $K[\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s]$ �Ȥΰ㤤�����ա�)

̿�� 3.6   �� $K$ �Ȥ��γ����� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ� $L$ �� ���Ū���� $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ �ˤĤ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ �� $K$ ���դ��ä��ƤǤ����� $K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ �θ��Ϥɤ�� $K$ �����Ū�Ǥ��롣

2. $$K(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s)=K[\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_s]$$

���� 3.1   $\alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �����Ū�Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

�������ϴ���Ū�ʲ����Ǥ��ɤ��櫓������ľ��Ū�������롢 ���ʤ�� $\alpha$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��κǾ�¿�༰��ºݤ˵��뤳�Ȥ�Ǥ��롣�㤨�м��Τ褦�ˤ�����ɤ���

���� 3.2   $\alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ �Ȥ��������ΤȤ���

1. $(\alpha-\sqrt{2})^3-1715=0$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $p(X)=((X-\sqrt{2})^3 -1715)((X+\sqrt{2})^3-1715)$ ��Ÿ���������줬 $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���ʤ�����
3. ��� $p$ �� $p(\alpha)=0$ �����������Ȥ򼨤��ʤ�����