�����Ƚ������� No.��9

��9���ܤμ��� :

�� ��P�ʤ�� Q�� ������ϡ���P ���� (not Q)�ס�

���� �� 9.1  

1. �� $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ �� �����ܸ��ľ���ʤ�������
2. �� $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ �� ������������������
3. �� $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ �� ������òµ­¹ï¿½Ç½ñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
4. �� $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ x>3 \implies x>5$ �� ����������ܸ��ľ���ƽñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� �� 9.2 (6.3)   ���� $X,Y,Z$ ���Ф��ơ� $X \subset Y \implies Z \setminus X \supset Z \setminus Y$ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� �� 9.3 (6.4)   ����² $\{A_i\}, \{B_i\}$ ��Ϳ����줿������޴ط�

$$(\cup A_i) \setminus (\cup B_i) \subset \cup (A_i \setminus B_i)$$

�����

$$(\cap A_i) \setminus (\cap B_i) \supset \cap (A_i \setminus B_i)$$

�򼨤��ʤ�����

&dotfill#dotfill;

��� �� 9.1   ���� $X,Y$ ���Ф��ơ� $X\times Y=\{(x,y)\vert x\in X,y\in Y\}$ �Τ��Ȥ� $X$ �� $Y$ ��ľ�ѽ����ȸƤ֡�

��� �� 9.2 (7.3)   ���� $f:X\to Y$ ���Ф��Ƥ����������

$$\Gamma_f=\{ (x,f(x)) \vert\ x \in X\} \subset X\times Y$$

��������롣

�� 9.3   [7.2] �Ĥ��γơ��Ϥ��줾��(�̡���)�����Ǥ��롣(���Υ���դ�???)

1. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
2. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
3. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$
4. $f_\theenumi:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$
5. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in \mbox{${\mathbb{R}}$}$
6. $f_\theenumi:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni n \mapsto 2 n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$

&dotfill#dotfill;

���� �� 9.4 (8.1)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto 2 x+1 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �εռ�������衣

���� �� 9.5 (8.2)   �Ĥ��Τ��Ȥò¤½¤ì¤¾ï¿½ì¼¨ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}\setminus \{1\}$ �ؤ���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^2$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
6. Ǥ�դ����� $n$ �ˤ������ơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^n$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣
7. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤ�ñ�ͤ�¸�ߤ��롣

���� �� 9.6 (��)   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ �� $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

�����Τ褦�ˡ� $g\circ f={\operatorname{id}}$ ���������Ȥ���$g$ �� $f$ �����ռ����� ����Ȥ�����($g$ ����ߤ�� $f$ �� $g$ �����ռ����Ǥ��롣���ΤȤ��� $g$ �����ͤ� $f$ ��ñ�ͤǤ���Τ��狼�뤳�Ȥ����դ��Ƥ������� )

���� �� 9.7   $g_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��

$$g_1(n)= \begin{cases} n/2 &\text{($n$ ¤¬¶ö¿ô¤Î»þ)} \\ 0 &\text{($n$ ¤¬´ñ¿ô¤Î»þ)} \end{cases}$$

���������С� ���� 9.6 �� $f$ ���Ф� $g_1 \circ f={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� �� 9.8   $f_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��

$$f_1(n)= 2 n +1$$

���������С� ���� 9.6 �� $g$ ���Ф� $g \circ f_1={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

��� �� 9.4   ���� $f:X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���

1. $X$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ�� ��(�����Ȥ����) $f(A)$ ��
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   ��������롣

2. $Y$ ����ʬ���� $B$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ������ ${f}^{-1}(B)$ ��
   $${f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   �ˤ��������롣

�ռ�����Ʊ������ ${f}^{-1}$ ��ȤäƤ��뤱��ɤ⡢ ����ε����� $f$ �εռ�����¸�ߤ��ʤ����ˤ����Ƥ��������� �Ȥ������Ȥ� ���դ��Ƥ�������

���� �� 9.9   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $f(\{1,2\})$ ����衣
2. $f(\{-3,3,5\})$ ����衣

���� �� 9.10   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. ${f}^{-1}([1,2])$ ����衣
2. ${f}^{-1}(\{1\})$ ����衣
3. ${f}^{-1}(\{2\})$ ����衣
4. ${f}^{-1}(\{-1\})$ ����衣