�����Ƚ������� No.��8

���������򤹤�Ȥ��ˡ��֥ۥƥ�ҥ�٥�ȡפΤ褦�ʲ���Ǥ���ΤǤ�����

���β��Ǥϡ����ͤϡ��ֶ��������ʤ����ȡפ��б����� ñ�ͤϡ��ֳ������ļ���(ñ�ͤǤʤ����Ȥϡ� �������������뤳��)���б�����ΤǤ�����

���ͤ�ñ�ͤ�¸�ߤϡ��Ͻ���Ƚ�����θ���¿���ȴط����Ƥ���ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

��8���ܤμ��� :

���������

��� �� 8.1   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f,g$ ���������� $g\circ f: X\to Z$ ��

$$(g\circ f) (x)= g(f(x))$$

��������롣

����̿��ϴ�ñ�ǤϤ��뤬ͭ�ѤǤ��롣���Ѿ�Ϥ��Τ褦��̿�꤬���뤳�Ȥ��� �������Ƥ����ơ���������Ƭ����dzΤ����Τ�������������

̿�� �� 8.2   ���� $f: X\to Y$ �� $g: Y \to Z$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��������ʤꤿ�ġ�

1. $f,g$ ���Ȥ��ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ��ñ�ͤǤ��롣
2. $f,g$ ���Ȥ�����ͤʤ�� $g \circ f$ �����ͤǤ��롣
3. $f,g$ ���Ȥ����ñ�ͤʤ�� $g \circ f$ ����ñ�ͤǤ��롣
4. $g \circ f$ ��ñ�ͤʤ�С� $f$ ��ñ�ͤǤ��롣
5. $g \circ f$ �����ͤʤ�С� $g$ �����ͤǤ��롣

��� �� 8.3   ���� $X$ ���Ф��ơ����� $X \ni x \mapsto x \in X$ �� $X$ �����������Ȥ����� ${\operatorname{id}}_X$ ��ɽ����

̿�� �� 8.4   ���� $X,Y$ �ȡ����� $f: X\to Y$ ����� $g: Y\to X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ����Τ��ȤϤ��٤�Ʊ�ͤǤ��롣

1. $f$ ����ñ�ͤǤ��äơ�$g$ �� $f$ �εռ����Ǥ��롣
2. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ ���� $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .
3. $f$ �����ͤǤ��äơ� $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ .
4. $f$ ��ñ�ͤǤ��äơ� $f\circ g={\operatorname{id}}_Y$ .

���̿��⡢ $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ �ʳ��Ϥ������ٳ�ǧ������ɤ��� $(1) {\Leftrightarrow}(2)$ ���ä˽��פǤ��롣

���� �� 8.1   $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ , $Y=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni x \to \sqrt{x} \in Y$ �� $g :Y \ni x \to x^2 \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������

���� �� 8.2   $X={\mathbb{C}}[t]$ (ʣ�ǿ������� $t$ ���ѿ��Ȥ���¿�༰�����ΤΤʤ�����), $Y={\mathbb{C}}[t]$ �Ȥ����� ���� $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ �� $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ �ˤ������ơ�

1. $g\circ f={\operatorname{id}}_X$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ , $g$ �Ϥ��줾�����͡�ñ�͡���ñ�ͤ���������