�����Ƚ������� No.13

��13���ܤμ��� : ����ɽ���ΤȤ����ˤ��ʤ���

���� 13.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��������ط��� $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��������롣 ���ΤȤ���

1. $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. �ʲ���������Ǥϡ� $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim$ �˴ؤ��륯�饹�� $[x]$ �Ƚ񤯡� $1$ �Υ��饹 $[1]$ ��°���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��򤹤٤������ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $3$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $4$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������

��������(3)�Τ褦�ʾ����ϡ� �ּ��� $f$ �� ��ɽ���ΤȤ����ˤ�餺�ˤ��ޤ���������� �ȸƤФ�ƤȤ��˽�������롣

���̤ˡ����� $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ���������Ƥ��ơ�$X$ ���� ���� $Y$ �ؤμ��� $f$ ����

$$\forall x \in X \forall y \in X (x \sim y \implies f(x)=f(y)$$

��ߤ����Ȥ���$f(x)$ ���ͤ� $x$ �Υ��饹 $[x]$ ����ɽ�� �ΤȤ����ˤ��ʤ��Ȥ����� ���ΤȤ��������餷������ $g :X(/\sim ) \to Y$ ��

$$g([x])=f(x)$$

�ˤ������Ǥ��롣

���� 13.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��������ط��� $x \sim y {\Leftrightarrow}x-y \in 12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��������롣 ���ΤȤ���

1. $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. �ʲ���������Ǥϡ� $x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim$ �˴ؤ��륯�饹�� $[x]$ �Ƚ񤯡� $3$ �Υ��饹 $[3]$ ��°���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��򤹤٤������ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $5$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\sim$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x])=$   ($x$ �� $4$ �dz�ä�;��) ������Ǥ������������

�Ĥ��Τ��ȤϽ���ν�Ʊ�������Ȥ�ƤФ졢��������ء�����ؤʤɤγ�ʬ��� ����Ū������̤�����

̿�� 13.1   ���� $f: X \to Y$ ��Ϳ����줿�Ȥ���

1. $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_ f$ ����
   $$x_1\sim_f x_2 {\Leftrightarrow} f(x_1)=f(x_2)$$
   �ˤ���������롣
2. $\bar f:(X/\sim_f)\to Y$ ��
   $$\bar{f}([x]_f )=f(x)$$
   �ˤ�ꤦ�ޤ��������롣 �����ˡ�$[x]_f$ �� $\sim_ f$ �˴ؤ��� $x\in X$ �Υ��饹�Ǥ��롣
3. $\bar f$ �� $X/\sim_f$ �� $\operatorname{Image}f$ �Ȥδ֤���ñ�ͤ�Ϳ���롣

4. $\pi: X \to X/\sim$ �����ʼͱƤȤ���Ȥ��� $f$ �����ͤ�ñ�ͤι��������Ȥ���ʬ�򤵤�롣���ʤ����
   $$f=\bar f \circ \pi.$$