�����Ƚ������� No.10

��10���ܤμ��� :

��� 10.1 (��)   ���� $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���

1. $X$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ�� ��(�����Ȥ����) $f(A)$ ��
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   ��������롣

2. $Y$ ����ʬ���� $B$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ������ ${f}^{-1}(B)$ ��
   $${f}^{-1}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   �ˤ��������롣

$f(A)$ �ϡ���$A$ �θ��� $f$ �����ä���Τ����Ρס� ${f}^{-1}(B)$ �� ��$f$ �����ä� $B$ �������Τ����ΡפȾ������ʤ� �Ĥ��Ƥ����Ȱ����פ���

${f}^{-1}$ ��(�������ˤ�餺)������Ū�ˤϻȤ��䤹���� �Ĥޤꡢ${f}^{-1}$ �Ϥ��ޤ��ޤʽ��绻�ȲĴ��Ǥ��롣

̿�� 10.2   ���� $f: X\to Y$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. Ǥ�դ� $B_1, B_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� ${f}^{-1}(B_1\cap B_2)={f}^{-1}(B_1)\cap {f}^{-1}(B_2)$ .
2. Ǥ�դ� $B_1, B_2 \subset Y$ ���Ф��ơ� ${f}^{-1}(B_1\cup B_2)={f}^{-1}(B_1)\cup {f}^{-1}(B_2)$ .
3. Ǥ�դ� $B\subset Y$ ���Ф��ơ� ${f}^{-1}(\complement B)= \complement({f}^{-1} (B))$ .
4. $Y$ ��̵�¸Ĥ���ʬ����² $\{B_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ �ˤĤ��ơ�
   $${f}^{-1}(\bigcap_{\lambda \in \Lambd... ...a \in \Lambda} B_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} {f}^{-1}( B_\lambda).$$

$f$ �����ˤĤ��Ƥϰ����ν��绻�ȲĴ��ǤϤʤ��� �ܤ����Ͻ��������ܤ򸫤�Ф褤���� ���������äƤϼ��㤬���줿���ˤ������ٹͤ��뤰�餤�� ��ʬ�����������ν�����⻲�ȤΤ��ȡ�

���� 10.1   $X =\{0,1,2,3,\dots, 20\}$ , $Y=\{0,1,2,\dots,10\}$ �Ȥ����� $f: X\to Y$ ��

$f(x)=$ ($x$ �� $5$ �dz�ä�;��)

��������롣���ΤȤ���

1. $A_1=\{0,1\}$ �Ȥ�����$f(A_1)$ ����衣
2. $A_2=\{0,11\}$ �Ȥ����� $f(A_2)$ ���Ȥ�衣
3. $f(A_1 \cap A_2)$ ���Ȥ�衣 (������ξ�硢 $f(A_1\cap A_2)=f(A_1)\cap f(A_2)$ ��������?)
4. $f(A_1 \cup A_2)$ ���Ȥ�衣 (������ξ�硢 $f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$ ��������?)
5. $B_1=\{0,3\}$ �Ȥ����� $f^{-1}(B_1)$ ���Ȥ�衣
6. $B_2=\{0,5\}$ �Ȥ����� $f^{-1}(B_2)$ ���Ȥ�衣
7. $f^{-1}(B_1 \cap B_2)$ ���Ȥ�衣 (������ξ�硢 $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ ��������?)
8. $f^{-1}(B_1 \cup B_2)$ ���Ȥ�衣 (������ξ�硢 $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$ ��������?)

���� 10.2   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ��Ĥ��γ���������衣

1. $A_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert\leq 1$    and $\vert y\vert\leq 1\}$ �ˤ������ơ� $f(A_1)$ ����衣
2. $A_2=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; (x-1)^2+(y-3)^2\leq 1 \}$ �ˤ������ơ� $f(A_2)$ ����衣
3. $f(A_1 \cap A_2)$ ���ᡢ����դγ�����������
4. $f(A_1)\cap f(A_2)$ ���ᡢ����դγ�����������
5. $f(A_1 \cup A_2)$ ���ᡢ����դγ�����������

���� 10.3   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3 \ni (x,y,z)\to (x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ�

1. ${f}^{-1}(\{(0,0)\})$ ���ᡢ����դγ�����������
2. ${f}^{-1}(\{1,1)\})$ ���ᡢ����դγ�����������
3. ${f}^{-1}(\{(x,y)\vert x^2+y^2\leq 1\})$ ���ᡢ����դγ�����������
4. ${f}^{-1}(\{(x,y)\vert\vert x+y\vert\leq 1\})$ ���Ȥᡢ����դγ�����������

��ľ�ѽ���

���Τ��ȤϺ��������Ȥ�Υ��뤬�� ������»�ʤä��ΤǤ����������񤤤Ƥ�����

���̤�, �� $x$ �� �� $y$ ������Ĥ����¤٤���� $(x,y)$ �� $x,y$ �Υڥ�(��)�ȸƤ֡� $x,y$ ���¿��ξ��ˤϳ���֤�����Ʊ������ˤʤäƤ��ޤäƤ��ơ� ʶ��路���Τ����� ���̤���Ȥ��ˤϡֶ�� $(x,y)$ ��,�֥ڥ�(��) $(x,y)$ �פ����ˤĤ���� �ɤ���������

��� 10.3   ���� $X,Y$ ���Ф��ơ�$X$ ��� $Y$ �θ��Υڥ������Τν���

$$\{(x,y); x \in X , y\in Y\}$$

�� $X$ �� $Y$ ��ľ�ѽ����Ȥ����� $X\times Y$ �ǽ�ɽ����

��äȰ��̤ˡ� ����² $\{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ ���Ф��ơ�

$$\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}$$

�� $\{X_\lambda\}$ ��ľ�ѽ����Ȥ����� $\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ �ǽ�ɽ����