�����Фä�����

�ʲ�������������������Ǥ��б�ʪ��񤯡�

��� 2.1   $\prec$ ������ $S$ ���������Ǥ���Ȥϡ��������郎 ����Ω�ĤȤ��˸�����

1. $\forall x \in S \quad (x \prec x)$
2. $\forall x ,y ,z \in S \quad (x \prec y$    and $y\prec z \implies x \prec z )$

$A$ �ˤϡ����Τ褦��������ط������롣

$$x \prec y \quad {\Leftrightarrow}\quad (\exists n \in \mathbb{N}\quad g^n(x)=y)$$

$x \prec y$ �Ȥϡ� $y$ �� $x$ �λ�¹�Ǥ���Ȥ������ȤǤ���

$A$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ����

$$x\sim y \quad {\Leftrightarrow}\quad ( x \prec y$$    or $$y \prec x)$$

���������롣

$x\sim y$ �Ȥϡ� $y$ �� $x$ �ο��̤Ǥ���Ȥ������ȤǤ���

Ʊ�ʹط��ˤ�ꡢ$A$ �����饹ʬ������롣 �ƥ��饹�ϡֿ�²�פǤ���

���饹 $A_{\lambda}$ ���Ȥ� $A$ ���� $B$ �ؤμ��� $f$ �Ȥ��εռ��� $G$ ���Ȥ�Ω�Ƥ褦�� ���ĤΥ�������ʬ����롣

Case I: $A_\lambda$ �˺Ǿ������ʤ���硣

���ΤФ����� $A_\lambda =g(A_\lambda)\subset B$ �Ǥ��롣

$$f\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}, \quad G\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}.$$

�ȼ����ɤ���

Case II. $A_\lambda$ �˺Ǿ����������硣

���κǾ����� $x_\lambda$ �Ȥ�������

$g^n(x_\lambda) \quad (n=0,1,2,\dots)$ �ϸߤ�����ۤʤ롣

���ʤ���� $(A_\lambda, g) \cong (\mathbb{N},+1)$ �ʤΤǤ��롣

$B\supset g(A)$ ���ä����顢 $g^n (x_\lambda)\in B$ $(n=1,2,3,\dots)$ .

$x_\lambda\in B$ ���ݤ��ˤ�äƤդ��Ȥ���˾��ʬ������롣

Case II-1). $x_\lambda\in B$ �ΤȤ���

$B \supset A_\lambda$ �Ǥ��롣

���äơ�Case I ��Ʊ����

$$f\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}, \quad G\vert _{A_\lambda}={\operatorname{id}}.$$

�ȼ����ɤ���

Case II-2). $x_\lambda \notin B$ �ΤȤ���

���ΤȤ��Τߡ�$A_\lambda$ �� $A_\lambda \cap B$ �δ֤˰㤤�������롣 $A_\lambda$ �� $A_\lambda \cap B$ �Ȥ���ñ�ͤ�Ϳ����ˤϡ���Ĥ��餻���ɤ���

$$g: A_\lambda \mapsto (A_\lambda \cap B)$$

����ñ�ͤǤ��äơ����εռ����� $h_\lambda$ �Ƚ񤱤С�

$$f\vert _{A_\lambda} =g,\qquad G\vert _{A_\lambda}= h_\lambda.$$

�ȼ����ɤ���

��ξ����� ���饹ʬ���κݤ� ���������ȤäƤ��롣 �ºݤˤϡ����������Ȥ�ʤ��Ƥ�Ѥ�Τǡ� ����Ͼ����ּ�ߡפȸ����뤫�⤷��ʤ���

���������Ȥ鷺�˾�������ˤϡ����Τ褦�˹ͤ��롣

$X=A\setminus B$ �Ȥ�����

$X$ �� �ؤ��Τʤ���ĹϷ���������Τν���ˤ����롣

����ˡ�

$$W=A \setminus (\bigcup_{j=0}^\infty g^j X )$$

�Ȥ������� [ $\bigcup_{j=0}^\infty g^j X$ �ϼ�ʬ�����ο��̤ˤؤ��Τʤ���ĹϷ������ͤ� ���Τν���ˤ����롣i ��� $W$ �Ϥ����佸���, ���̤����ؤ�����Ĥ褦�ʿͤ����Τν���Ǥ��롣 ]

���ơ�

$$g: \bigcup_{j=0}^\infty g^j X \to \bigcup_{j=1}^\infty g^j X$$

����ñ�ͤǤ��롣

���Τ��Ȥ��ưפ�ʬ���롣

$$A= \bigcup_{j=0}^\infty g^j X \cup W$$

$$B= \bigcup_{j=1}^\infty g^j X \cup W$$

��äơ�$A$ �� $B$ �δ֤���ñ�ͤ�¸�ߤ��롣

���Υ饤�󤬡� �ֵܹ��ζ��ʽ�(���ӡ��︫�����ֽ���Ȱ�����֤δ��á����ܡ�)�ˤ������ �Ǥ��롣�����ʤ�٤����碌�Ƥ��롣�ܺ٤϶��ʽ�򻲾ȤΤ��ȡ�