����� IA No.14����

����ľ�� (+��Ʊ�������α���)

��� 14.1 (����ľ��)   $(G_1,\spadesuit)$ �ȡ� $(G_2,\heartsuit)$ �Ȥ����˷��Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ����ǥ�����ѽ���

$$G_1\times G_2 = \{(g_1,g_2);\quad g_1\in G_1, \ g_2 \in G_2\}$$

�ϡ����Τ褦�ʱ黻 $\diamondsuit$ �ˤ�귲�ˤʤ롣

$$(a_1,a_2)\diamondsuit(b_1,b_2)=(a_1\spadesuit b_1,a_2 \heartsuit b_2)$$

$(G_1\times G_2, \diamondsuit)$ �� $G_1$ �� $G_2$ ��(���Ȥ��Ƥ�)ľ�ѤȸƤ֡�

�� 14.2 (ľ�ѷ�����)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...\mbox{${\mathbb{Z}}$}}, b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ �� ��ˡ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ �˴ؤ��Ʒ��ˤʤ롣
2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2=$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �β�ˡ�ι�¤�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �β�ˡ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �β�ˡ�� ��ľ�ѤȤ��Ƥι�¤�Ǥ���ȹͤ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣

���� 14.3 (ͭ�½�󷲤�ľ��ʬ��)   $m,n$ ��ߤ����Ǥ����������Ȥ��롣���ΤȤ���Ʊ��

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

��¸�ߤ��롣

�� 14.4   $m,n$ ��ߤ����Ǥ������Ȥ���ȡ�

$$am+bn=1$$

�Ȥʤ����� $a,b$ ��¸�ߤ��롣

���ηϼ��Ȥ�褯���Ѥ���롣������Ȥ��ư�Ĥ����󤲤Ƥ�����

�� 14.5 (�Ϥη�)   $m,n$ ��ߤ����Ǥ����������Ȥ��롣���ΤȤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ρ�$\bar{n}$ ����������� ��ʬ���ϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ȤǤ��롣

�����ȷ���Ʊ���κ�����ˤĤ��ơ�

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� �� $H$ �ؤη���Ʊ������ˤϡ� $H$ �θ� $h$ (``$1$ �ιԤ���'')�ǡ� $h^n=e_H$ ��ߤ�����Τ���Ф褤��
2. ��Τ��Ȥϡ����Τ褦�˰��̲��Ǥ��롣 �������� $n$ ���Ф��ơ�
   1. $n$ �Ĥθ� $x_1,x_2,\dots,x_n$ ����������뼫ͳ�� $F_n=\langle x_1,x_2,\dots, x_n\rangle$ ��¸�ߤ��롣 $F_1$ �� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ��Ʊ���Ǥ��롣($1$ �� $x_1$ �����򤹤롣)
   2. $F_n$ ����¾�η��ؤη���Ʊ����Ϳ���뤳�Ȥϡ� $x_1,\dots x_n$ �ιԤ��� ��Ϳ���뤳�Ȥ�Ʊ���Ǥ��롣
   3. $n$ �Ĥθ����������줿��
      $$G =\langle g_1,g_2,\dots, g_n ;$$   (�ط���)$$_1,\dots$$   (�ط���)$$_m\rangle$$
      �ϡ�$F_n$ ��    (�ط���)$_1,\dots$   (�ط���)$_m$ (�� "g" �� "x" �� �֤����������) ���������줿������ʬ�� $N$ �dz�ä���;����Ʊ���Ǥ��롣
   4. $G$ ���� $H$ �ؤη���Ʊ���ϡ� $x_1,\dots, x_n$ �ιԤ��� $h_1,\dots, h_n$ �ǡ�    (�ط���)$_1,\dots$   (�ط���)$_m$ (�� "g" �� "h" �� �֤����������)������Ω�Ĥ�Τ�Ϳ������ɤ���

����

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ��󷲤ǤϤʤ����Ȥ�������ʤ�����