����� IA No.13����

��Ʊ��������Ŭ����

�� 13.1  

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ �ؤμ��� $\varphi$ ��

$$\varphi(k)=a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

���������ȡ�

1. $\varphi$ �� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� $C_n$ �ؤ� ����Ʊ���Ǥ��롣
2. $\operatorname{Ker}(\varphi)=n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $\operatorname{Image}(\varphi)=C_n$ . (�Ĥޤꡢ$\varphi$ �����͡�
4. ���ν�Ʊ�������ˤ�ꡢ $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���Ǥ��ꡢ�ʤ����ķ��Ȥ��Ƥ�Ʊ��
   $$\bar{\varphi}:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong C_n$$
   �� $\bar{\varphi}([k]_n)=a^k$ ����ޤ롣

�� 13.2  

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���� ${\mathbb{C}}^{\times}$ �ؤμ��� $\varphi$ ��

$$\varphi(x)=e^{\sqrt{-1} x}$$

���������ȡ�

1. $\varphi$ �� $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$,+)$ ���� $({\mathbb{C}}^{\times},\times)$ �ؤ� ����Ʊ���Ǥ��롣
2. $\operatorname{Ker}(\varphi)=2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
3. $\operatorname{Image}(\varphi)=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ . (ʣ��ʿ�̾��ñ�̱߼���)
4. ���ν�Ʊ�������ˤ�ꡢ $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �� $\operatorname{Image}(\varphi)$ �� ���줾�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , ${\mathbb{C}}^{\times}$ ����ʬ���Ǥ��ꡢ�ʤ����� ���Ȥ��Ƥ�Ʊ��
   $$\bar{\varphi}:$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$/2 \pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong \{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$$
   ��
   $$\bar{\varphi}( x \mod 2\pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})=e^{\sqrt{-1}x}$$
   �ˤ����ޤ롣

�� 13.3  

�٥��ȥ���� $V$ ���� $W$ �ؤ��������� $f$ �ϡ�$(V,+)$ ���� $(W,+)$ �ؤ� ����Ʊ���Ǥ��롣���äơ����ν�Ʊ��������Ŭ�ѤǤ��ơ� (��ˡ)����Ʊ�� $V/\operatorname{Ker}(f) \cong f(V)$ ������Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣���ĤϤ���Ʊ���������������֤ν�Ʊ�������� ���ڤ���Ƥ����Τȼ����Ȥ��Ƥ�Ʊ���Ǥ��롣 (���������Τۤ��������顼�ܤ�ͤ��Ƥ���ʬ��������¿����)

����

(I).

$($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2,+)$ ���� $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2,+)$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}= f \begin{pmatrix} x+y\\ 0 \end{pmatrix}$$

���������Ȥ���$f$ ��(��ˡ)���ν�Ʊ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��� ���γˤ�������ʤ�����