����� IA No.11����

���ν�Ʊ������

���� 11.1 (���ν�Ʊ������)   �� $G$ �����̤η� $H$ �ؤν�Ʊ������ $\varphi:G\to H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\varphi$ ���� $\operatorname{Image}\varphi$ �� $H$ ����ʬ���Ǥ��롣
2. $\varphi$ �γ� $N=\operatorname{Ker}\varphi$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
3. ��;�� $G/N$ �� $\operatorname{Image}\varphi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

�����δ�:

Step1. $\varphi$ �ˤ�륯�饹ʬ���ϡ� $\operatorname{Ker}(\varphi)$ �ˤ�륯�饹ʬ���Ȱ��פ��롣

Step2. $G/\operatorname{Ker}(\varphi)$ �η��ι�¤�� $\operatorname{Image}(\varphi)$ �η��ι�¤�� ���פ��롣

�� 11.2  

�̿� $2n$ �������η� $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ ���� $(\{\pm 1\},\times )$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

������ȡ���������ͽ�Ʊ�������ˤʤꡢ$f$ �γˤ� $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ �� ���פ��롣�椨�ˡ� $\langle a \rangle$ �� $\Bbb D_{n}$ ��������ʬ���Ǥ��ꡢ

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

����Ω���뤳�Ȥ��狼�롣

����

(I).

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x]_{15})=[ x]_{5}$ ��Ϳ�����Ȥ������줬���ޤ��������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �����ν�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ�򼨤��ʤ�����
3. $f$ ���б�ɽ��񤤤� $f$ �ˤ�륯�饹ʬ���� $\operatorname{Ker}(f)$ �ˤ�륯�饹ʬ���˰��פ��뤳�Ȥ� �Τ���ʤ�����