1=8

����� IA No.8����

�������η���������ʬ����

$\zeta_n=\exp(\dfrac{2\pi\sqrt{-1}}{n})$ �Ȥ����� ʣ��ʿ�̤��餽�켫�Ȥؤ���ñ�ͤΤ�����

1. ��$\zeta_n$ �ܤ�������פ� $a$ �Ȥ����� ���ʤ����
   $$a(z)=\zeta_n z.$$

2. ��ʣ�Ƕ������Ȥ��������פ� $b$ �Ȥ����� ���ʤ����
   $$b(z)=\bar z.$$

3. $a,b$ ����������뷲�������η��Ȥ����� $\mathbb{D}_n$ �Ƚ񤯡�

$\mathbb{D}_n$ ���ɽ���ˤϤ����Ĥ���ˡ�����롣

�� �������ȴط����ˤ��ɽ����

̿�� 8.1   �����η� $\mathbb{D}_n$ �ȡ���Τ褦�˷�ޤä� $a$ , $b$ �ˤĤ��ơ�

1. $a^n=e$ (ñ�̸�( ${\mathbb{C}}$ �ι�������)).
2. $b^2=e$ .
3. $b a b^{-1}=a^{-1}$ .
4. $\mathbb{D}_n$ �θ��� $a^i b^j$ $(i\in\{0,1,2,\dots,n-1\},\ j\in \{0,1\})$ �Ȱ�դ˽񤱤롣�äˡ� $\mathbb{D}_n$ �ΰ̿��� $2n$ �Ǥ��롣

$\mathbb{D}_n$ �η��黻��񤭲����ˤϡ� $a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1}$ ��������ɤ��Ȥ������Ȥ�ʬ���롣���Τ��ߤǡ�

$$\mathbb{D}_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, b a b^{-1}=a^{-1} \rangle$$

�Ƚ񤯡�

�� �ִ��Ȥ��Ƥ�ɽ��

$$a \leftrightarrow (1 \ 2 \ 3 \ ... \ n)$$

$$b \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1&2&3&4& \dots & n-1 &n \\ n-1& n-2& n-3&n-4&\dots & 2 &1 \end{pmatrix}$$

�Ȥ����б��ˤ�� $\mathbb{D}_n$ �� $\mathfrak{S}_n$ ����ʬ���Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ��롣

�� �¹���Ȥ��Ƥ�ɽ���� $a,b$ �ϤȤ�� ${\mathbb{C}}$ ���� ${\mathbb{C}}$ �ؤμ����������Ǥ��뤳�Ȥ����ܤ��롣

$$a \leftrightarrow \begin{pmatrix} \c... ...matrix},\qquad b \leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

(� $\theta_n=\dfrac{2 \pi}{n}$ )

$\mathbb{D}_n$ ����Ĵ��ʷ��Ǥ��롣���̤ˡ���Ĵ��η��򤽤���ʬ���� ���(���饹ʬ������)�ݤˤϺ��������̤�ɬ�פǤ��롣

��� 8.2   �� $G$ ����ʬ�� $H$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$x,y\in G$ �� $H$ ��ˡ�Ȥ��ƺ�Ʊ�ͤǤ���Ȥϡ�

$$\exists h \in H \quad h x=g$$

�ΤȤ��ˤ����������Ʊ�ʹط���������롣����Ʊ����ν���� $H\backslash G$ �Ƚ񤯡�

Ʊ�ͤˡ���Ʊ�͡�$G/H$ ���������롣

$H\backslash G$ �Ͻ���κ��ε��� $H\setminus G$ �Ȥ褯���Ƥ��뤬�� ��Ԥ϶�����Ǥ��뤫��ޤ��Ȥ�ʤ������ʤ������äȹͤ���ж��̤��Ĥ���

�� 8.3   $\mathbb{D}_n$ ����ʬ���Ȥ��� $H=\langle a \rangle$ ��ͤ��롣 �����饹ʬ����

$$\mathbb{D}_n=H \coprod H b$$

�����饹ʬ����

$$\mathbb{D}_n = H \coprod b H$$

�Ǥ��ꡢ���ĤΥ��饹ʬ����(�¤�)���פ��롣

�� 8.4   $\mathbb{D}_n$ ����ʬ���Ȥ��� $K=\langle b \rangle$ ��ͤ��롣 �����饹ʬ����

$$\mathbb{D}_n=K \coprod K a \coprod K a^2 \coprod \dots \coprod K a^{n-1}$$

�����饹ʬ����

$$\mathbb{D}_n=K \coprod a K \coprod a^2 K \coprod \dots \coprod a^{n-1} K$$

�Ǥ��뤬��2�ĤΥ��饹ʬ���ϰ��פ��ʤ���

��� 8.5   �� $G$ ����ʬ�� $H$ �ϡ�����ˤ�뺸Ʊ����ȱ�Ʊ����Ȥ����פ������ ������ʬ�� �Ǥ���ȸƤФ�롣

̿�� 8.6   $G$ ����ʬ�� $H$ ����$[G:H]=2$ ��ߤ����ʤ顢$H$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣

̿�� 8.7   �� $G$ ����ʬ�� $H$ �ˤĤ��ơ����ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

1. $H$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
2. $\forall h \in H ,\forall g\in G$ ���Ф��ơ� $ghg^{-1} \subset H$ . ����ʤ� $\forall g\in G$ ���Ф��� $gH g^{-1} \subset H$ .
3. $\forall g\in G$ �ˤ������� $g H = H g$ .

�� $G$ �ξ�;��ˤ�륯�饹ʬ���ϡ���äȶ���Ū��(�㤨�С�������Ū��) ��̣���Ĥ����Ȥ�¿�����㤨�� $\mathbb{D}_n$ �� ��ǡ�

• $H=\langle a \rangle$ �ˤ�륯�饹ʬ���ϡ� ��ʣ��ʿ�̤�΢�֤���ɽ�Τޤޤ��פò¤¢¤ï¿½ï¤¹ï¿½ï¿½
• $K=\langle b \rangle$ �ˤ�뱦���饹ʬ���ϡ�( ${\mathbb{C}}$ �Τ��켫�Ȥؤ��Ѵ��ȹͤ������� �� $1\in {\mathbb{C}}$ ��ɤ����˼̤����פǤ�ʬ��Ǥ��롣
• $K$ �ˤ�뺸���饹ʬ���ϡ� �֤ɤθ��� $1\in {\mathbb{C}}$ �˼̤뤫�פǤ�ʬ��Ǥ��롣