1=7

����� IA No.7����

���ִ�����

�ִ�

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}$$

�ϡ� $1,2,3,4$ �����줾����ѿȡդ��� $2,3,4,1$ �ˤʤ�� �������Ǥ��äơ������

$$a(1)=2, a(2)=3,a(3)=4,a(4)=1$$

�Ȥ����褦�ˤ�񤯡�

��Ĥ��ִ��η��(�黻)���̾�Ը�������ɡդࡣ���Ȥ��С�

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

�γݤ��� $ab$ �ϡ�

$$ab= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatr... ...&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&2&3&1 \end{pmatrix}$$

�Ĥޤꡢ�㤨�� $1$ �� $b$ �� $3$ �˲����ơ����� $a$ �� $3$ �� $4$ �˲�����Τǡ� ��̤Ȥ��� $1$ �� $ab$ �ˤ�ä� $4$ �˲����뤳�Ȥˤʤ롣

�����Ĥ��θ� $\{a_1,a_2,\dots, a_r\}$ ��緫����Ѥ����ִ������ʤ��

$$\begin{pmatrix} a_1 & a_2& \dots & a_{r-1} &a_r \\ a_2 & a_3& \dots & a_r &1 \end{pmatrix}$$

�Τ��Ȥ� ����ִ��ȸƤӡ� $(a_1,a_2,\dots a_r)$ �Ƚ�ɽ����

��� 7.1   ���� $S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ� $S$ ���� $S$ �ؤ���ñ�ͤ����Τ� �����ι����˴ؤ��Ʒ���ʤ�������� $S$ ����оη��ȸ����� ͭ�½������оη���ͭ���оη��ȸƤ֡�$n$ �Ĥθ�����ʤ� ���� $\{1,2,\dots,n\}$ �ξ���оη���$n$ �����оη��ȸƤӡ�$\frak S_n$ �ǽ�ɽ����

�פϡ�$n$ �Ĥθ� $1,\dots,n$ ���ִ����ΤΤʤ����� $n$ �����оη��Ǥ��롣

���� 7.2   $n$ �����оη��ΰ̿��� $n!$ �Ǥ��롣

��� 7.3   �оη� $\frak S_n$ ����ʬ���Τ��Ȥ��ִ����Ȥ�����

Ǥ�դ��ִ��ϸߤ���Ʊ��ʸ����ޤޤʤ�����ִ����ѤȤ���ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣�㤨�� ���ִ�

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&5&7&6&2&1&8&9&3 \end{pmatrix}$$

��褯�ߤƤߤ�ȡ����Τ褦���ѿȤ��ͻҤ�ʬ���롣

$$3\overset{\sigma}{\mapsto} 7\overset{... ...igma}{\mapsto} 1 \qquad 2\overset{\sigma}{\mapsto} 5\overset{\sigma}{\mapsto} 2$$

�������äơ�

$$\sigma= (3\ 7\ 8\ 9) (1 \ 4 \ 6 )(2\ 5)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣

�ִ��γ�ǰ����ӵ���ϡ� $\{1,2,3\dots, n\}$ �Τ褦�ʽ�������ǤϤʤ��� ¾�ν���Ǥ�Ȥ��롣

���Ȥ��С� $\mu_n({\mathbb{C}})$ �θ�����Ƥ� $\{\zeta_n\}$ �ܤ��뤳�Ȥ�

$$(1 \zeta \zeta^2 \zeta^3 \dots \zeta^{n-1})$$

�ʤ��ִ����б����롣