1=4

����� IA No.4����

�� ${\mathbb{C}}^\times$ ��ͭ����ʬ����

̿�� 4.1   �������� $n$ ���ĸ��ꤷ�� $\zeta_n=\exp(\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{n})$ �Ȥ���������ȡ�

1. $\zeta_n$ ��(��ˡ�� ${\mathbb{C}}^\times$ �θ��Ȥ��Ƥ�)�̿��� $n$ �Ǥ��롣
2. $\zeta_n$ ���������� ${\mathbb{C}}^\times$ ����ʬ����
   $$\langle \zeta_n \rangle = \{\zeta_n^k; k=0,1,2,\dots, n-1 \}$$
   �Ǥ��롣���η��� $\mu_n({\mathbb{C}})$ �Ƚ񤯡�
3. $\zeta_n^k=\zeta_n^l$ ${\Leftrightarrow}$ $k-l \in n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

���� 4.2   ������Ū�ˤϡ����Τ褦�ʰ�̣�����롣

1. $\mu_n({\mathbb{C}})$ �θ���ʣ��ʿ�̾�˥ץ��åȤ���Ȥ��礦���� $n$ �ѷ��� ĺ�����¤֡�
2. $\mu_n({\mathbb{C}})$ �� ${\mathbb{C}}$ �� ${\mathbb{C}}^\times$ �Ρֲ�ž�פ�ɽ�����Ǥ��롣

���̤ˤ٤��褷�� $1$ ���������ʤ�褦�ʸ��򡢡�$1$ �Τ٤����פȤ�֡� ����������С�$1$ �Τ٤����Ȥϡ� $\cup_{n=1}^\infty \mu_n({\mathbb{C}})$ �� ���Τ��ȤǤ��롣

��� 4.3   ���ο���ͭ�¤Ǥ���褦�ʷ���ͭ�·��ȸ����� ͭ�·� $G$ �θ��θĿ���$G$ ���̿��ȸ�����$\vert G\vert$ �Ȥ� ${\operatorname{ord}}(G)$ ��ɽ����

��� 4.4   �̿� $n$ �ν�󷲤ϡ��ܼ�Ū�ˤϤҤȤĤ����ʤ������η��� $C_n$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

$C_n$ �Ϸ��Ȥ��Ƥ� $\mu_n({\mathbb{C}})$ ��Ʊ����ΤǤ��뤬�� $\mu_n({\mathbb{C}})$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ����Ǥ���Τ��Ф��ơ�$C_n$ �Ϥ������ȤϹͤ��Ƥ��ʤ��� ���������Ū�ʷ��Ǥ���Ȥ����Ȥ������ۤʤ롣

$C_n$ ���ɽ�����Ϥ�����������Τ����������Ǥϡ����������ȴط����� ��񤯼���ɽ������Ѥ��롣

$$C_n=\langle a ; a^n=e \rangle.$$

���θ� $x$ �ΰ̿��Ȥϡ�$x^k=e$ ���������������� $k$ �Τ��� �Ǿ��Τ�ΤǤ��ä����Ȥ�פ��Ф��������ΰ̿��ȷ��ΰ̿��Ȥˤ� �����ʴط������롣�ܤ����ϼ���

���� 4.5   �̿� $12$ �� $C_{12}=\langle a ; a^{12}=e\rangle$ ��ò¤¹¤Ù¤Æ½ñ¤­¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î°Ì¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½Ë¤ï¿½ï¿½è¡£

��:

��	$e$	$a$	$a^2$	$a^3$	$a^4$	$a^5$	$a^6$	$a^7$	$a^8$	$a^9$	$a^{10}$	$a^{11}$
�̿�	$1$	$12$	$6$	$4$	$3$	$12$	$2$	$12$	$3$	$4$	$6$	$12$