����� IA No.3����

�����������(��ʬ)����

�� $G$ �ȡ�������ʬ���� $M$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

$\bullet$ $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ȥϡ� $M$ ��ޤ�Ǿ�����ʬ���Τ��ȤǤ��롣

$\bullet$ �äˡ�$G$ ���Ȥ� $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥ��� ñ�ˡ�$G$ �� $M$ ����������롣�Ȥ�����

�������������ʬ���դ����Τ�����ϼ��Τ褦�ˤʤ롣

��� 3.1 (�������������ʬ���դ����)  

�� $G$ �Ȥ�����ʬ���� $M$ �Ȥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $G$ ����ʬ�� $H$ �� $M$ ����������� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥϡ� ���ξ����������Ȥ��˸�����

(���� 1).

$H$ �� $M$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $G$ ����ʬ���Ǥ��롣

(���� 2).

$H$ �Ͼ�ξ�� (����1) ����������ΤΤ����Ǿ��Τ�ΤǤ��롣 ���ʤ�������Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

$\langle\!\langle$ $K$ ����$M$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $G$ ����ʬ����Ǥ���С� $H$ �� $K$ ����ʬ���ˤʤ롣 $\rangle\!\rangle$

$M$ ����������� $G$ ����ʬ���� $\langle M \rangle$ �Ƚ񤯡�

�� 3.2   ${\mathbb{C}}^\times$ ����ʬ���Ȥ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $\langle -1\rangle=\{1,-1\}$ .
2. $\langle \sqrt{-1}\rangle=\{1,-1,\sqrt{-1},-\sqrt{-1}\}$ .
3. $\langle \omega \rangle=\{1,\omega,\omega^2\}$ . �������� $\omega=\dfrac{-1 +\sqrt{-3}}{2}$ .
4. $\langle 2\rangle=\{2^n ; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
5. $\langle 2,3\rangle=\{2^n3^m ; n,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .

̿�� 3.3   ���� $m$ ���Ф��ơ� $m$ ����������� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���� $m {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ���פ��롣

̿�� 3.4   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�� $H$ �ǡ� 0 �Ǥʤ���Τ�ȤäƤ����Ȥ��롣����ȡ�

1. $H$ �θ��ǡ����ǡ��Ǿ��Τ�Τ�¸�ߤ��롣(����� $n_0$ �Ȥ�������)
2. $H$ �� $n_0$ ����������롣

���� 3.5   $\{0\}$ �ʳ��� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($n$ ����������)�� ���Τ�Τ˸¤롣 (�դˡ�������� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���Ǥ��롣)

̿�� 3.6   �� $G$ �θ� $g$ ���Ф��ơ� $g$ ����������� $G$ ����ʬ����

$$\langle g \rangle =\{g^n ; n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

�˰��פ��롣����Ϥ⤦�����ܤ�������ȼ��Σ��Ĥξ�礬���롣

1. $g^n$ $(n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �Ϥ��٤���ۤʤ롣
2. ������������ $k$ �����äơ�$g^k=e$ ������Ω�ġ� ���Τ褦�ʤ�ΤΤ������Ǿ��Τ�Τ� $g$ ���̿��ȸƤ֡�

(1)�ξ��ˤϡ� $g$ �ΰ̿���̵�¤Ǥ���Ȥ�����

̿�� 3.7   �� $G$ �θ� $g$ �ΰ̿� $k$ ��ͭ�¤ʤ顢 ���� $l$ �� $g^l=e$ ���������Τϡ� $l\in k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ΤȤ��ǡ����λ��˸¤롣