1=2

����� IA No.2����

��ʬ��

������ʬ���Ȥϡ���ʬ����Ǥ��äƷ��ˤʤäƤ����ΤΤ��ȤǤ��롣

����������ʬ���γݤ����Ϥ�Ȥη��γݤ����Ȱ��פ��ʤ���Фʤ�ʤ���

��ʬ����������������ˡ������������ľ����Ƴ����� �����ˤĤ��Ƥ����Ĥ��Ҥ٤Ƥߤ褦�� �ʲ��Ǥ� $G$ �α黻 $m(x,y)$ ��ñ�� $xy$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ��롣

���� 2.1   $G$ �Ϸ��Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $G$ ��ñ�̸��Ϥ�����ĤǤ��롣
2. $G$ �θ� $x$ ���ĤȤäƤ���ȡ����εո��Ϥ�����ĤǤ��롣(����� ���� $x^{-1}$ �Ƚ񤯡�)
3. $x\in G$ ���Ф��ơ� $(x^{-1})^{-1}=x$ ������Ω�ġ�
4. $a,b,c\in G$ �� $ab=cb$ ���������ʤ顢ɬ�� $a=c$ ������Ω�ġ�
5. Ǥ�դ� $a,b\in G$ ���Ф��ơ� $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ������Ω�ġ�
6. Ǥ�դ� $a,b,c,d\in G$ ���Ф��ơ�
   $$((ab)c)d=(ab)(cd)=a(b(cd))=a((bc)d)=(a(bc))d$$
   ������Ω�ġ����ʤ�����Ĥθ��Τ������� $a,b,c,d$ �ν��֤Τߤ˰ͤꡢ�������� ���֤ˤϰͤ�ʤ���(�����ѤΤ��Ȥ�����ñ�� $abcd$ �Ƚ�) (��äȤ�������θ����ѤˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ�����Ω�ġ�)

��� 2.2 (���θ��Τ٤���)   $G$ �ò·²¡ï¿½ $x$ �ò¤½¤Î°ï¿½Ä¤Î¸ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£

1. ������ $n$ ���Ф��ơ�$x^n$ (��$x$ �� $n$ -���)�ϵ�ǼŪ�˼��Τ褦��������� �롣

   $$x^0=e$$

   $$x^{n+1}=x^n x$$

   
   

2. $n$ ����������ΤȤ��ˤϡ�$x^n$ �� $x^{-n}$ �εո��Ȥ���������롣

���� 2.3   $x^mx^n=x^{m+n}$

���ơ���������롣��ʬ�������Τ�����ϼ��Τ褦�ˤʤ롣

��� 2.4 (��ʬ�������)  

�� $(G,\circ)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$G$ ����ʬ���� $H$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥϡ����ξ����������Ȥ��˸����� (��ʬ��0) �ݤ��� $\circ:G\times G\to G$ �� $H\times H$ �����¤���ȡ������ $H$ ���ͤ���ġ����ʤ�������Τ褦�ʼ�����ͶƳ����롣

$$\circ:H\times H \to H$$

(��ʬ��1) $(H,\circ)$ �� ���Ǥ��롣

��� (��ʬ��0) �ϼ��Τ褦�˸��������Ƥ��ɤ���

(��ʬ��0$'$ ) $h,k$ �� $H$ ����Ǥ�դ˼�äƤ���ȡ����ĤǤ� $h\circ k$ �� $H$ �θ��Ǥ��롣

�� 2.5   ���ν���Ϥ��줾�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���Ǥ��롣

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ȡ�
2. $\{0\}$ .
3. �������Τν��� $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
4. 3 ���ܿ����Τν��� $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

���ν���Ϥ��줾�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times)$ ����ʬ���Ǥ��롣

1. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times$ ���ȡ�
2. $\{1\}$ .
3. $\{\pm 1\}$ .
4. $\{2^n;n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}\quad (=\{1,... ...\}\cup \{\frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots\}$ )
5. $\{2^m3^n; m,n \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

�� 2.6   ���ν���Ϥɤ�ⷲ $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���Ǥʤ���

1. ������Τν��� $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
2. $\{\pm 1\}$ .

���� 2.7   $G$ ����ʬ�� $H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�$H$ ��ñ�̸��� $G$ ��ñ�̸��Ȱ��פ���$H$ �θ� $h$ �� $H$ �Ǥεո� �� $G$ �Ǥεո��Ȱ��פ��롣

���� 2.8   �� $G$ ����ʬ���� $H$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ��뤿��ˤϡ� ���λ���郎��­����뤳�Ȥ�ɬ�׽�ʬ�Ǥ��롣

1. $a,b\in H \quad \implies \quad ab\in H$
2. $e \in H$
3. $a\in H \quad \implies \quad a^{-1} \in H$

���� 2.9 (����Ͼ����ΰ���ʬ�������롣)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ����ɬ��

$$n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (=\text{$n$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î½¸¹ç}) \qquad (n=0,1,2,3,\dots)$$

�Τɤ줫�Ǥ��롣(������� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���ˤʤäƤ��롣)

����

(I).

$S=\{1,2, \frac{1}{2}\}$ �ϼ¿��ξ�ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times,\times)$ �� ��ʬ���������ʬ���ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����