��ʬ��ʬ�س���AI���� No.12

��� 12.1   �¿��Τ����� $I$ ��������줿�ؿ� $f$ ������ñĴ���ôؿ��Ǥ���Ȥϡ�

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \ \implies \ f(x_1)< f(x_2)$$

��ߤ����Ȥ��ˤ����� ��Ⱦ�� $f(x_1)<f(x_2)$ �� $f(x_1)\leq f(x_2)$ ���֤������뤳�Ȥˤ�ꡢ (����)ñĴ���ôؿ����������롣

���ޤ˶���ñĴ���äξ��� �� $f(x) < f(x+1)$ �� ��Ʊ���ȴ��㤤���Ƥ�������� �������롣����λ������Ǥ�������������Ϥ������ְ㤤�� $x (\sin(2\pi x)+2)$ ��ͤ��Ƥߤ���ɤ���(�����̤οޤ⻲��)

���� 12.2   $f$ ���Ķ�� $[a,b]$ ��ζ���ñĴ���ä�Ϣ³�ؿ��Ǥ���С�

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

�εմؿ�

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

��¸�ߤ��롣 ����ˡ����� $f^{-1}$ ��Ϣ³�ǡ����Ķ���ñĴ���äǤ��롣

�� 12.3   �������� $n$ ���Ф��ơ� 0 �ʾ�μ¿��������Ȥ���ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}\ni x\mapsto x^n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ ��Ϣ³�Ǥ��ꡢ����ñĴ���äǤ��롣���δؿ������ͤǤ⤢�뤫�顢 $f$ �ϵռ�������ġ����δؿ���

$$x \to \sqrt[n]{x}$$

�Ƚ񤯡� �Ĥޤ� $y=\sqrt[n]{x}$ �� $y^n=x$ ��������ͣ������μ¿��Ǥ��롣

̿�� 12.4   Ǥ�դ����μ¿� $x$ ���Ф��ơ�

$$\sqrt[n]{x^{k}}= (\sqrt[n]{x})^k$$

���ʤꤿ�ġ�

Proof. $y=\sqrt[n]{x}$ �Ȥ����ȡ�����ˤ�ꡢ $y^n=x$ .

$$(y^k)^n=y^{k n}=(y^n)^k=x^k.$$

�椨�ˡ�$y^k$ �� $n$ �褷�� $x^k$ �ˤʤ�¿��Ǥ��롣 ���Τ褦�ʼ¿���ͣ��ġ����ʤ�� $\sqrt[n]{x^k}$ �����ʤ��ΤǤ��뤫�顢 ξ�Ԥ��������� $\qedsymbol$

Ʊ�ͤˤ��ơ����Τ��Ȥ�ʬ���롣

̿�� 12.5   �������� $a,b,c,d$ �� $a/b=c/d$ ���������С�Ǥ�դ����μ¿� $x$ �ˤ������ơ�

$$\sqrt[b]{x^a} =\sqrt[d]{x^c}$$

���ʤꤿ�ġ�

����̿�꤬�ʤꤿ�ĤΤǡ� $\sqrt[b]{x^a}$ �Τ��Ȥ� $x^{\frac{a}{b}}$ �� �񤤤Ƥ����ζ��줬�ʤ���

���� 12.6   $1$ ����礭���¿� $x$ ��ͭ���� $q_1, q_2$ �ˤ������ơ�

$$q_1 <q_2 \implies x^{q_1} < x^{q_2}$$

������Ω�ġ�

���� 12.1   ���Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0; \forall q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\vert q\vert<\delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon)$$

�մؿ����̤����󤲤褦:

�� 12.7   ������Ǥϡ��⹻�ǽ������Ѵؿ����μ��� ���ΤǤ���Ȥ��롣

1. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni x\mapsto \sin(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arcsin(x)$ �Ƚ񤯡�
2. $[0,\pi] \ni x\mapsto \cos(x) \in [-1,1]$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arccos(x)$ �Ƚ񤯡�
3. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \ni x\mapsto \tan(x) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �϶���ñĴ����Ϣ³�ؿ��Ǥ��롣���εմؿ��Τ��Ȥ� $\arctan(x)$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

$\arcsin,\arccos,\arctan$ �Ϥ��줾�� $\sin^{-1},\cos^{-1}, \tan^{-1}$ �ʤɤȽ񤯤��Ȥ⤢�롣

���ͤޤǤ���� 12.1 �β������դǽҤ٤� $x (\sin(2\pi x)+2)$ �Υ���դ� �ܤ��Ƥ�������