��ʬ��ʬ�س���AI���� No.10

��� 10.1 (``§4 (I)")   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

�˸¤�����ˤ�ꡢ�������ϼ��Τ褦�˸����������롣

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 ;\ (0< \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ �ξ����θ�˲ä���ȡ����Τ褦���������ʤꤿ�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 10.2   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥϡ����ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

��������ϡ������פǤϤ��뤬�� Ϣ³��������ˤ����� ``$x=a$ '' �Ρ��㳰Ū�ʰ����פ�������Ƥष�� �����ʷ��򤷤Ƥ��롣�����Ǥ��ιֵ��ǤϤ�äѤ�Ϣ³����Τ����ˤ� ��������Τۤ����Ѥ���Ƚ�ꤹ�뤳�Ȥˤ��롣�ºݤˤϡ��ؿ� $f$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ���Ȥ���������϶������롣������ �����ˤĤ��Ƥξ���ϥå��국�Ҥ��Ƽ��Τ褦��������褦��

��� 10.3   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $X$ ��������줿�ؿ� $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� �� $a\in X$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

(��) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; \forall x \in X( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

���������Ȥ��˸�����

$X$ ���������뤳�Ȥˤ�ꡢ$x$ ��ư���ϰϤ˴ؤ������¤����Τˤʤ롣 �Ȥ��� $X$ �� $[a,a+\epsilon)$ �ΤȤ���ͤ���Сֱ�Ϣ³����(``§4(I)'') �������˲��Ǥ��롣

�������ǡ� $\vert x-a\vert$ �� $x$ �� $a$ �ε�Υ�� $\vert f(x)-f(a)\vert$ �� $f(x)$ �� $f(a)$ �ε�Υ�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣���Ϣ³��������� ¿�ѿ��ؿ��䡢��Υ���֤Τ������μ�����Ϣ³��������� ���Τޤް��̲����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

(��)�����ꡢ���ʤ���� ��$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥʤ��פ��Ȥϡ� ���Τ褦�˽�ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣

(��) $\exists \epsilon>0; \forall \delta>0 \exists x \in X \ ( \vert x-a\vert<\delta$    ���� $\vert f(x)-f(a)\vert\geq \epsilon)$

���ιֵ��Ǥϻ��Ѵؿ��ˤĤ��Ƥϴ����ʼ�갷�����Ǥ��ʤ�ͽ��ʤΤǡ� ������ݡ�������ˤ����ƤϤ����Ĥ��Τ��ȤϹ⹻�ޤǤ��μ�����Ѥ��ơ� �����ʤ����Ѥ��뤳�Ȥˤ��롣 �����������줾����ʳ��ǤɤΤ褦�ʤ��Ȥ�Ȥä��������Τˤ��Ƥ���������

���� 10.4   �ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$% latex2html id marker 998f(x)= \begin{cases} \sin(1/x) & ... ...q 0 \text{ ¤Î¤È¤­ })\\ 0 & (x =0 \text{ ¤Î¤È¤­ }) \end{cases}$$

���������Ȥ��� $f$ �� $x=0$ ��Ϣ³�ǤϤʤ����Ȥ�������ʤ����� ��������$\sin$ �� $0,\pi, \frac{\pi}{2}$ �Ǥ��ͤ䡢 $\sin$ ������ $2\pi$ �μ����ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ�ͳ�˻Ȥä��ɤ���ΤȤ��롣

���� 10.5   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $X$ ��������줿�ؿ� $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ϳ�����Ƥ��뤹�롣 ���ΤȤ�, $a\in X$ ���Ф��ơ� ���ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

1. $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��롣
2. $X$ �θ��Ф��꤫��ʤ���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $$\lim_{n\to \infty}a_n =a$$ ����������Τ��Ф��ơ���� $$\lim_{n\to \infty} f(a_n)=f(a)$$ ������Ω�ġ�

���� 10.1  

�ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$% latex2html id marker 1048f(x)= \begin{cases} x^2 \sin(1/... ...q 0 \text{ ¤Î¤È¤­ })\\ 0 & (x =0 \text{ ¤Î¤È¤­ }) \end{cases}$$

���������Ȥ��� $f$ �� $x=0$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ����� �������� $-1\leq \sin(x)\leq 1$ �� ���뤳�Ȥ�ͳ�˻Ȥä��ɤ���ΤȤ��롣

���: ��ʬ��ˤĤ���

����μ�«�ˤĤ��ơ����Τ��Ȥ���­���Ƥ�����

���� 10.6   ���� $\{a_n\}$ �ˤĤ��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $\{a_n\}$ �������� $c$ �˼�«����С����Τɤ���ʬ��� $c$ �˼�«���롣
2. �դˡ�$\{a_n\}$ �Τɤ���ʬ����«����ʤ�С� $\{a_n\}$ ���Ȥ��«���롣

;�ϤΤ���ͤϡ�(2)�ˤ����ơ�����ʬ��μ�«�褬�ɤ�Ǥ���Ǥ���� �Ȳ��ꤷ�ʤ��Ƥ��ɤ��Ȥ����ˤ����ܤ�����ɤ���