��ʬ��ʬ�س���AI���� No.2

�� 2���ܤμ��� :

�� $\forall x ....$ �� �ϡ��֤ɤ�� $x$ ���Ф��Ƥ⡢ $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣��

�� $\exists x ....$ �� �ϡ��֤ʤˤ������Ĥ� $x$ ���Ф��Ƥϡ� $....$ ���ʤꤿ�ġפȤ�����̣���Ѥ��롣

�ʲ��Ǥϼ¿� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ϼ�����������Ĥ��Ȥ�ǧ��뤳�Ȥˤ��롣

���� 2.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ξ��ͭ������ʬ�����ɬ����¤���ġ�

�¿��ν������ϡ���θ����Ȼ�§�黻���羮�ط��θ����˴�Ť� ���٤ƾ�������롣�㤨�С��Ĥ��Τ��Ȥ������Ǥ��롣

̿�� 2.2 (���륭��ǥ��θ���)   $\mathbb{N}$ �Ͼ��ͭ���ǤϤʤ���

̿�� 2.3 (ͭ��������̩��)   Ǥ�դΰۤʤ� $2$ �Ĥμ¿��δ֤ˤ�ͭ������¸�ߤ��롣

�������������ΤΤ��Ȥ򤳤ιֵ��Ǥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �Ƚ񤯡� ����Ȥϡ�����Ū�ˤϼ��Τ褦������Ǥ��롣

��� 2.4   �¿��� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ �Ȥϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ��� $n\mapsto a_n$ (���ʤ������������ $n$ �˼¿� $a_n$ ���б��������б�)�Τ��ȤǤ��롣

��� 2.5   �¿��� $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ ���¿� $c$ ����«�����Ȥϡ�

$$\forall \epsilon >0 \exists N$$    such that $$\quad (\forall n>N \quad \vert a_n -a\vert<\epsilon)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��˸�����

����������Ȥ����ʤ���褦�ˤʤ�С����ιֵ�����ɸ�� 80% �� ã����줿�ȸ��ä��ɤ���

���� 2.6   ���� $\{a_n\}$ ��

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ ¤¬ $10$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{¤½¤Î¾¤Î¤È¤­}\\ \end{cases}$$

���������Ȥ��� $\{a_n\}$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� ����˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

����   $\{a_n\}$ �Ϥɤ��ͤˤ��«���ʤ���

(����) ����ˡ�ǡ�$\{a_n\}$ ������� $c$ �˼�«�����Ȥ��롣 ��«������� $\epsilon$ �Ȥ��� $\frac{1}{2}$ ����Ѥ��褦�� ���� $N_0$ ��¸�ߤ��ơ�

$$n>N_0 \vert a_n-c\vert <\frac{1}{2}$$ (��)

������Ω�ĤϤ��Ǥ��롣������

(Small sample i).

��� $n$ �Ȥ��� $N_0$ �����ʤ� $10$ ���ܿ������Ȥ��С�$n=10 N_0$ ��Ȥ�ȡ�

$$\vert 1-c\vert<\frac{1}{2}$$

���狼�ꡢ

(Small sample ii).

��� $n$ �Ȥ��� $N_0$ �����ʤ���ǡ� $10$ ���ܿ��Ǥʤ���Ρ����Ȥ��С� $n=10 N_0+1$ ��Ȥ�ȡ�

$$\vert-c\vert<\frac{1}{2}$$

���狼�롣

��� (sample i,ii)�򤢤碌��ȡ�

$$1=\vert 1-0\vert \leq \vert 1-c\vert+\vert c-0\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$$

�Ȥʤä�̷��Ǥ��롣

��äơ�$\{a_n\}$ �Ϥ����ʤ��ͤˤ��«���ʤ���

���� 2.7   ���� $\{a_n\}$ ��

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ ¤¬ $10$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î¤È¤­}\\ 0 & \text{¤½¤Î¾¤Î¤È¤­}\\ \end{cases}$$

���������Ȥ��� $a_n$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� ����˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

����   $\{a_n\}$ �� 0 �˼�«����

(����) Ϳ����줿 $\epsilon\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ �ˤ������ơ� $N_0$ �Ȥ��ơ� $1/\epsilon$ ����礭���������ĤȤäƤ����� (���Τ褦�ʤ��(���ʤ��Ϳ����줿�¿������礭������) ��¸�ߤ��뤳�Ȥϡ��֥��륭��ǥ��θ����פȤ��� �ݾڤ���Ƥ��뤬���ޥ����������äƤ����������ȻפäƤ��ɤ���)

���� $N_0$ ����«������� $N$ ������̤������Ȥ򼨤����� �ºݡ� $n>N_0$ �ʤ�Ǥ�դ� $n$ �ˤ������ơ�

1. $n$ �� $10$ ���ܿ��ʤ顢
   $$\vert a_n-0\vert =\frac{1}{n}< \frac{1}{N_0}<\epsilon$$

2. $n$ �� $10$ ���ܿ��Ǥʤ��ʤ顢
   $$\vert a_n-0\vert =0<\epsilon$$
   �Ȥʤäơ�������ξ��ˤ��� $\vert a_n-0\vert<\epsilon$ ������Ω�Ĥ���Ǥ��롣

���� 2.1   ���� $\{a_n\}$ ��

$$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2}$$

���������Ȥ��� $\{a_n\}$ �ϲ��������ͤ˼�«������������� ����˴�Ť�����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����