��ʬ��ʬ�س���AI���� No.1

�ֵܹ�����Ū :

�⹻�ޤǤο��ؤ���������̣�臘�ٶ��פȤ���ʤ顢 ���ιֵ��Ǥο��ؤϡ����������ٶ��פǤ��롣 �Ȥϸ��äƤ⡢����ڤ�Ȫ�Ǻ��� �Ȥ�������Ϥ������ѤʤΤǡ��������٤Ͻ���礤�Τ�Τ������롣 ¾���ǡ��֥�ȥ�Ȥ򲹤�Ƥ����ޤ��פǤ������ȤϤ�٤ʤ��� ���ʤ��褦�ˡ��⹻�ǽ��ä�������ͤ������פʤɤ������� �����Ǽ�Фʤ��ǻȤäƤϤ����ʤ��� �ؿ��ؿ����п��ؿ������Ѵؿ����⥢���ȤǤ��롣 �ǤϤɤ��ޤ��Ѥ������ɤ����Ȥ����м��Τ褦�ˤʤ롣

��� 1.1   �ʲ����ιֵ��Ǥϼ��Τ褦�ʵ�����Ѥ��롣

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : �������ΤΤʤ����硣

2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : ͭ�������ΤΤʤ����硣

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ : �¿����ΤΤʤ����硣

4. ${\mathbb{C}}$ : ʣ�ǿ����ΤΤʤ����硣

������ȡ����θ��Ȥζ��̤������ �ּ¿��ν�����Ĺͤ��롣�פȤ����Τȡ��ּ¿����Ĺͤ��롣�פȤ����Τ� �褯�ռ����ƶ��̤��뤳�ȡ�

���� 1.2   ����������������Ω�ġ�

1. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ� $-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$ .
2. (����������) $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ� $\vert x+y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert.$

��� 1.3   �¿� $a,b$ �ˤĤ��ơ��Ķ�� $[a,b]$ �ȳ���� $(a,b)$ �� �Ĥ��μ������롣

$$[a,b] =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b) =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a < x < b\}$$

�� $[a,b]$ �ˤ�ü�������äơ������ǤΤ褦���� $[a,b]$ �Τۤ������� �褦�����礭���ۤäƤ��롣������Ф��ơ�$(a,b)$ �γ����Ϥɤ�������Ƥ��롣

�� $[a,b]$ �ˤϺ��縵�����뤬��$(a,b)$ �ˤϤʤ��� ��������򸫤衣

��� 1.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $A$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ�

1. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $A$ ���峦 (upper bound)�Ǥ���Ȥϡ�
   $$\forall x\in A (x\leq a)$$
   (�Ĥޤꡢ�ɤ� $x\in A$ ���äƤ��Ƥ� $x\leq a$ ) ������Ω�ĤȤ��˸�����
2. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� $A$ �����(supremum)�Ǥ���Ȥϡ� $A$ �ξ峦�Τ����Ǿ��Τ�Τò¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½

�� ����ξ峦��¸�ߤ���Ȥϸ¤�ʤ��� �ޤ����峦��¸�ߤ����Ȥ���ȡ�����Ϥ����Ĥ⤢�롣

�� 1.5  

$$T=\{$$�ں���Ŵ(*)�α���$$\}=\{120,200,220,300,400,460\}$$

�Ȥ���((*)2014/4/1����)�����ΤȤ���

1. $T$ �ξ峦�Ȥ��Ƥϡ�$1000$ �����롣����� ���ں���Ŵ�˾��Ȥ���1000�ߤ���ФҤȤ�ʬ�Τ����­���פ��Ȥ� ��̣���Ƥ��롣
2. $T$ �ξ峦�Ȥ��Ƥϡ�¾�ˤ� 500, ������������$951.777..$ �������롣
3. $T$ �ξ�¤� $500$ �Ǥ��롣

ι�Ԥ˹Ԥ��Ȥ���������ι��򥭥å���׻����ơ�����ʬ�Τ��⤷�� ���äƹԤ��ʤ��ͤϾ��ʤ������������΢����ߤ���н�ʬ�פȤ� ���Ѥ�롣���줬�峦�ιͤ�����

�� 1.6 (�����ͤ�����ʤ�����¤���Ľ��礿��)  

1. $\{\frac{n-1}{n}; n=1,2,3,\dots\}$ �Ͼ�� $1$ ���ġ�
2. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x<2\}$ �Ͼ�� $2$ ����ġ�
3. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$; x^2<2\}$ �Ͼ�� $\sqrt{2}$ ����ġ�

��� 1.7   ���� $A\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �����ͭ���Ǥ���Ȥϡ� $A$ ���峦�ò¾¯¤Ê¤ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Ä¤ï¿½Ä¤È¤ï¿½ï¿½Ë¸ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 1.8   $f(x)=x^4-6 x^3 +11 x^2 -6 x$ �Ȥ��������ΤȤ�

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; f(x) <0\}$$

�Ͼ峦���Ĥ���������

(����) $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ �Ȱ���ʬ��Ǥ���Τǡ�

$$S=(0,1) \cup (2,3)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 �������äơ� $S$ �Ͼ峦 $10$ ���������ͭ���Ǥ��롣

�峦�ϰ�ĵ󤲤�н�ʬ�Ǥ��롣�������ʤ� $3$ (���) �Ǥ��ɤ����� $100$ �Ǥ�褤��$f$ ������ʬ��Ǥ��ʤ����⡢ �Ĥ��Τ褦���̲�ʤ餦�ޤ�������

(�̲�) �ޤ���$M=100$ �Ȥ����ȡ�$S$ �θ� $s$ �� $s\leq M$ ���������� �ʤ��ʤ顢�⤷ $s>M$ �ʤ� $s\in S$ ��¸�ߤ����Ȥ���ȡ�

$$f(s) = s^4-6 s^3 +11 s^2 - 6 s$$

$$> 100 s^3 -6 s^3 + 11 \cdot 0 - 6 \cdot s^3 = 88 s^3 >0$$

�Ȥʤäơ������ $s\in S$ ��ȿ���뤫��Ǥ��롣 ($s>1$ �ΤȤ� $s<s^2<s^3<\dots$ �����ա� ��ι��¿��˸��Ѥ�ꡢ���ι�Ϲ�����˸��Ѥ�롣) �������äơ� $M$ �� $S$ �ξ峦�ΰ�ĤǤ��롣

���� 1.1   ���γ���������ʤ�����

1. $\{\vert x^3 -10 x^2 +100x -1000\vert \quad ; \quad x \in [0,1]\}$ �ξ峦���ĵ󤲡� ������ͳ��Ҥ٤ʤ�����

2. $$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; 5x^4-4 x^3+3 x^2+4 x -5<0\}$$
   �Ͼ峦���Ĥ��������� ��ľ��ˤϾ峦���ĵ󤲤Ƥ�����ͳ���������� �⤿�ʤ����ˤϤ⤿�ʤ����Ȥ���ͳ���������衣

���Τ��Ȥϡ��¿��ζ˸¤�ͤ����Ǵ���Ū�Ǥ��롣

���� 1.9   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $S\neq \emptyset$ �����ͭ���ʤ�� $S$ ��ɬ����¤��ġ�