�����IB���� No.15

UFD $R$ �򷸿��Ȥ���¿�༰�ΰ���ʬ��ˤϡ� $R$ �ξ��� $Q(R)$ �Ǥΰ���ʬ���ͤ���н�ʬ�Ǥ��뤳�Ȥ� ������������ˤ��ʬ����ΤǤ�����

&dotfill#dotfill;

�����Υơ���:

����ˤĤ��Ƥ褯�ؤӤ����ͤΤ������: ����ε����� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥ��ξ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �˴ؤ��ƤΤ٤뤬�� ���̤� UFD $R$ �Ȥ��ξ��� $K=Q(R)$ �˴ؤ��Ƥ�Ʊ�ͤʤ��Ȥ�����Ω�ġ�

����̿��ϥ�����������ηϤǤ��롣

̿�� 15.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���¿�༰ $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��Dz���ʤ�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ǥ����Ǥ��롣

̿�� 15.2   ¿�༰ $h\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ��¿�༰ $f,g\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ���Ѥλ���

1. $h$ �������� $f$ �������� $g$ ���������ѤǤ��롣
2. $h$ �κǹ⼡�η����� $f$ �κǹ⼡�η����� $g$ �κǹ⼡�η����Ȥ� �ѤǤ��롣

�Ȥ��ˡ���˥å��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ��¿�༰���⤷����ʤ�Ф���ϥ�˥å��ʰ�������ġ�

�� 15.3   $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ʿ�����Ǥʤ���С�$X^2-n$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �δ��󸵤Ǥ��롣 ��äơ����ΤȤ���$\sqrt{n}$ ��̵�����Ǥ��롣

̿�� 15.4   �� $K$ ��� 3���⤷����2����¿�༰ $f\in K[X]$ �ˤĤ��ơ� $f$ �� $K$ ����˺�������ʤ���� $f$ �� $K$ �����Ǥ��롣

���� 15.5 (�������󥷥奿����)   ${\mbox{${\Bbb Z}$\ }}$ �ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë¤ï¿½Ä¥ï¿½Ë¥Ã¥ï¿½ï¿½ï¿½Â¿ï¿½à¼°

$$f(X)=X^k+a_{k-1}X^{k-1}+a_{k-2}X^{k-2}+\dots+a_0$$

���������ǿ� $p$ ���Ф��ơ�������Ĥ��������ĤȤ��롣

1. $f(X)=X^k \quad\pmod{ p}$
2. $f(X)$ �������� $p^2$ �dz���ڤ�ʤ���

���ΤȤ��� $f$ �� $\mbox{${\Bbb Q}$\ }$ �����Ǥ��롣

���Τ��Ȥ�褯�Ѥ��롣

���� 15.6   Ǥ�դ� $f\in k[X]$ ��Ǥ�դ���� $c\in k$ ���Ф��ơ�

$f(X)$ ������ ${\Leftrightarrow}$ $f(X+c)$ ������.

���� 15.7   ��˥å���������¿�༰ $f(X) \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 �����ǿ� $p$ ������ $f$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������¿�༰�Ȥ��ƴ���ʤ顢 $f$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �θ��Ȥ��ƴ���� ���롣

���� 15.1   $X^2-6$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (����Ϥ������ $\sqrt{6}$ ��̵�����Ǥ��뤳�Ȥ�ȤäƤϤʤ�ʤ���)

���� 15.2   $X^3-X-1$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½