����� IB No.13����

�ո��Ȥ����С��ϥ��߽�ˡ��

�桼����åɴ�(;����������껻�ΤǤ����) $R$ �ˤ����Ƥϡ� Ϳ����줿 $a,b \in R$ �ˤ�������$a,b$ �κ������� $d$ ��¸�ߤ��� �߽�ˡ�ˤ�ꡢ $a l + bm =d$ �������� $l,m$ �����Ū�˵��뤳�Ȥ� �Ǥ���ΤǤ�����(No.8���ȡ�)

&dotfill#dotfill;

̿�� 13.1   �� $R$ �ȡ� $a,b,d \in R$ ���Ф��ơ����������Ʊ�ͤǤ��롣

1. $R$ �Υ��ǥ�������� $(a,b)=(d)$ ������Ω�ġ�
2. $al +bm=d \quad (\exists l,m \in R)$ ���� $d\vert a$ ���� $d\vert b$ ������Ω�ġ�

ñ�।�ǥ�������(PID) $R$ �ˤ����Ƥϡ�Ϳ����줿 $a,b \in R$ �ˤĤ��ơ� ̿�� 13.1 �������ܤξ��������� $(d)$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ����ա�

���� 13.2   PID $R$ �θ� $a,b$ ���ߤ����ǤǤ���Ȥ��� $R/(a)$ �ˤ����ơ�$b$ ��Ʊ���� $[b]_{(a)}$ �ϵո��� ��ġ�

�ºݡ�$al+bm=1$ �������� $l,m \in R$ ��¸�ߤ��롣$[l]_{(a)}$ �� ���εո��Ǥ��롣

��� 13.1   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$R_1,R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�� �Ȥϡ��ǥ�����ѽ��� $R_1\times R_2$ �ξ�ˡ� ���Τ褦�ʱ黻�����������ΤǤ��롣

$$(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)$$

$R_1$ �� $R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�Ѥ����� $R_1\times R_2$ �Ƚ񤯡�

���� 13.1   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $R_1\times R_2$ �ϴĤˤʤ롣
2. $R_1,R_2$ ��ñ�̸� �����줾�� $1_{R_1},1_{R_2}$ �Ȥ���ȡ� $R_1\times R_2$ ��ñ�̸��� $(1_{R_1},1_{R_2})$ �Ǥ��롣
3. $R_1,R_2$ ���Ȥ�˲Ĵ��ʤ�С� $R_1\times R_2$ ��Ĵ��Ǥ��롣

�٥��ȥ���֤Ǵ��ܥ٥��ȥ뤬���פ�����̤������褦�ˡ� �Ĥ�ľ�Ѥˤ����Ƥ⡢ $e_1=(1_{R_1},0_{R_2})$ �� $e_2=(0_{R_1},1_{R_2})$ �� ���פ�����̤������ط���

$$e_1 +e_2=1,\quad e_1 e_2=0 ,\quad e_1^2=e_1,\quad e_2^2=e_2$$

������Ω�Ĥ��Ȥ����դ��衣 $e_1,e_2$ ��ľ�ѤΡ��ͱ���(�⤷�����ͱƸ�)�ȸƤФ�롣

̿�� 13.3   �� $R$ �θ� $a,b$ �� $(a,b)=(1)$ ���������Ȥ���

$$R/(a b)\ni [x]_{ab} \mapsto ([x]_a, [y]_b) \ni R/(a) \times R/(b)$$

�ʤ�����ϴĤ�Ʊ����Ϳ���롣

�� 13.1 (�Ĥ�ľ��ʬ��ζ�����)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��롣
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X^2-X)$ �� ${\mathbb{C}}[X]/(X)\times {\mathbb{C}}[X]/(X-1)$ ��Ʊ���Ǥ��롣

�����Ĥδ� $R_1,R_2,R_3$ ��ľ�Ѥ���Ĥξ���Ʊ�ͤ��������롣 �� $(R_1\times R_2)\times R_3$ �� $R_1\times R_2\times R_3$ �� Ʊ���Ǥ��롣���İʾ�Ǥ�Ʊ�͡�

��ŵŪ�� 105 �����ϡ� Ʊ�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���Ȥˤ��Ƥ��롣

����

(I).

$L=2012113$ �Ȥ��������ΤȤ���5��ʾ���������� $N(<L)$ ��ʬ�Ǥ���ơ����� $N$ �ˤ�������, ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/L{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ�$N$ �εո����Ȥ�衣

(II).

$1000$ �dz��� $17$ ;�ꡢ $1003$ �dz��� $34$ ;��褦������ $n$ ������ĵ���(����η׻��Ϥ������پ�ά���Ƥ褤�� ��������᤿��ˡ�Ͻ񤤤Ƥ������ȡ�)