����� IB No.8����

�Գ�껻�θ���(�桼����åɴ�)�� ����ʹߡ����ιֵ��Ǥϡִġפ�ñ�˸����вĴ��ĤΤ��Ȥ� �ؤ����Ȥˤ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $k[X]$ ����Ĥˤޤ����̤��Ƹ����뤳�Ȥϡ� �ɤ�����;��Τ����껻�פ�����뤳�ȤǤ��롣

;��Τ����껻�ʤ�����Τ����������Τ��Ȥ˻פ��뤫���Τ�ʤ����������� ���Ȥ���

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ǹͤ��� $X^2$ �� $2X+1$ �dz�ä�;��ϡ�

${\mathbb{C}}[X,Y]$ ����ǹͤ��� $X^3+Y^3$ �� $XY+1$ �dz�ä�;��ϡ�

�ʤɤ�ʹ�����Ⱥ��äƤ��ޤ��� �ݥ���Ȥϡ� �֤ɤ��dz�껻�����ä���ʬ����褦�ʼ��٤����뤫�ɤ����� �Ȥ������ˤ��롣�����Ǽ��Τ褦������򤹤롣

��� 8.1   �� $R$ ���桼����åɴ��Ǥ���Ȥϡ����������� $W$ �� ���� $\rho:R\to W$ (�ֽŤ��פ�Ĵ�٤����)�����äơ� �����������������Ȥ��˸���

1. $R$ �θ� $a$ �ΡֽŤ��� $\rho(a)$ ���Ǿ� ${\Leftrightarrow}$ $a=0$
2. $R$ �θ� $a,b$ $(a\neq 0)$ ���Ф��ơ�
   $$b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \rho(r)<\rho(a)$$
   �Ȥʤ� $q,r$ ��¸�ߤ��롣

(��$W$ �����󽸹�Ǥ���פȤϡ�$W$ �Ͻ������Ǥ��äơ������� ��$W$ ��Ǥ�դ���ʬ���� $X$ �ϺǾ�������ġפȤ����Ȥ��ˤ����� ����������񤷤�������������ˤ� $W=\mathbb{N}$ �ȻפäƤ�����ʳ��ˤϽ�ʬ�Ǥ��롣 )

���� 8.1 (�桼����åɴĤδ�����)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $k[X]$ ($k$ ����)�ϤȤ�˥桼����åɴĤǤ��롣

��껻�θ����Ȥ��Ƥϼ��Τ��Ȥ�褯�Ȥ���

���� 8.2 (��˥å���¿�༰�ˤ���껻)   $R$ ��ñ�̸�����IJĴ��ĤȤ��롣$R[X]$ �θ� $a$ ����˥å��ʤ�С� Ǥ�դ� $b\in R[X]$ ���Ф��ơ�

$$b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \deg(r)<\deg(a)$$

�Ȥʤ� $q,r\in R[X]$ ��¸�ߤ��롣

��� 8.2   �� $R$ �Υ��ǥ��� $I$ ��ñ�।�ǥ����Ǥ���Ȥϡ� ���� $a\in R$ ��¸�ߤ��ơ� $I=(a)$ ������Ω�ĤȤ��˸�����

$R$ �����ƤΥ��ǥ��뤬ñ�।�ǥ���Ǥ���Ȥ��� $R$ ��ñ�।�ǥ�����Ǥ���ȸ�����

���� 8.1   �桼����åɴĤ�ñ�।�ǥ���ĤǤ��롣

�� 8.2   ���� $a,b$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ������κ��������� $d$ �Ȥ��������ΤȤ���

$$al+bm=d$$

��ߤ������� $l,m$ ��¸�ߤ��롣

�� 8.3   $k$ ���ΤȤ��롣$k$ ���¿�༰ $a,b$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ������κ��������� $d$ �Ȥ��������ΤȤ���

$$a(X)l(X)+b(X)m(X)=d(X)$$

��ߤ���$k$ ���¿�༰ $l,m$ ��¸�ߤ��롣

�ºݤ� $l,m$ ��׻�����ˤϡ����Τ褦����ˡ�������Ǥ��롣

���� 8.1 (�桼����åɤθ߽�ˡ)   ����

$$72l+56m=8$$

������������ $l,m$ ���Ȥ���ȵ��衣

(����) �ޤ����Τ褦�ʷ׻���Ԥ�

�������η׻�(��)	������	����
72 ��� 56 �� 1 ���ޤ� 16	$72=56\times 1 +16$	$\begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 56\\ 16 \end{pmatrix}$
56 ��� 16 �� 3 ���ޤ� 8	$56=16\times 3 +8$	$\begin{pmatrix} 56\\ 16 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 16\\ 8 \end{pmatrix}$
16 ��� 8 �� 2 ���ޤ� 0	$16= 8\times 2 +0$	$\begin{pmatrix} 16\\ 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8\\ 0 \end{pmatrix}$

(���������η׻�����ʬ�� ������ʬ����䤹���褦�˽񤭲ä����������������ƤˤϽ񤫤ʤ��ۤ��� �褤��)

�ơ��ιԤι��󻻤��Ȥ߹�碌��ȡ�

$$\begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ ... ...egin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$$

�����롣���μ��α��դ˸������������Ϥ��٤� $M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �θ��Ȥ��� �ĵդǤ��뤳�Ȥ����դ��ơ���μ��򼡤Τ褦���ѷ����뤳�Ȥ�����롣

$$\begin{pmatrix}8 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}... ...n{pmatrix}1 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72 56 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}0 & 1 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ... ...gin{pmatrix}-3 & 4 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 56 \end{pmatrix}$$

���μ������Ԥ����ܤ���ȡ� $8=(-3)\times 72+ 4\times 56$ �����롣

(����)     $l=-3,m=4$ .

����

(I).

$a(X)=X^3+X+1, b(X)=X^3-2X^2+5X$ �ΤȤ�������

$$a(X) l(X)+b(X) m(X)=1$$

��������¿�༰ $l,m\in {\mathbb{C}}[X]$ ���Ȥ���ȸ��Ĥ��ʤ����� ����Ϥ��θ��դ������ޤǹ���ƽ񤯤��ȡ�

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ϥ桼����åɴĤǤ��롣 (���ξ�����������ǤϽ񤫤ʤ��Ƥ�褤���Ȥˤ��롣 $\rho$ �Ȥ��Ƥϡ������͡դ�ͤ���$q$ �Ȥ��Ƥ� $b/a$ �ˤ�äȤ�ᤤ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ���Ȥ�Ф褤�� ( $\vert b/a-q\vert\leq \sqrt{2}/2$ �˽���롣)) ���Τ��Ȥ��Ѥ��ơ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ�

$$a=21-28*\sqrt{-1}, \quad b=40$$

�κ���������桼����åɤθ߽�ˡ���Ѥ��Ƶ��ʤ�����

�ҥ��:

$\vert a\vert^2 =1225 < 1600=\vert b\vert^2$ �Ǥ��뤫�顢�ޤ��� $b$ �� $a$ �dz�뤳�Ȥˤʤ롣

$$\frac{b}{a}=\frac{b\overline{a}}{\ve... ...vert^2}= \frac{40(21+28\sqrt{-1})}{1225}\fallingdotseq 0.686 +0.914 \sqrt{-1}$$

�Ǥ��뤫�顢�� $q$ �Ϥ����ͤˤ�äȤ�ᤤ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �θ������ʤ�� $q=1+\sqrt{-1}$ �Ǥ��롣;��� $r=b-q a$ �ǵ����롣 ��ɡ��ǽ�ν�ˡ��

$$40= (1+\sqrt{-1})(21-28\sqrt{-1}) + (-9+7 \sqrt{-1})$$

�Ȥ������ˤʤ롣