1=5 1 by -1    

����� IB No.5����

�Ծ�;�ġ��ǥ��ǥ��롢���祤�ǥ����

����ޤǤˡ��� $R$ �Ρ����Υ��ǥ��� $I$ �ˤ���;�ĤˤĤ��Ʋ��⤷����

$$\bar{x}=\bar{y} {\Leftrightarrow}x-y \in I$$

�ʤ�Ƚ��ˡ�ˤ�� $R$ �˥��饹ʬ�������뤳�ȡ�$R/I$ �˲�ˡ����ˡ�� ��ɽ���ΤȤ����ˤ�餺����ޤ뤳�Ȥ��ݥ���ȤǤ��ä��� ���Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ�

$$\overline{153}\times \overline{493}$$

��׻�����Τˡ� $\overline{153\times 493}$ ��׻����Ƥ�褤���� $\overline{153}=\overline{-1}, \overline{493}=\overline{-2}$ ����ɽ�����괹���Ƥ��� $\overline{-1}\times \overline{-2}$ �Ȥ�äƤ��ɤ��櫓�Ǥ��롣

&dotfill#dotfill;

���Τ��Ȥˤ����դ��Ƥ�������

���̤ˡ�$R/I$ �Ȥϴ� $R$ �� $I$ �γƸ� $x$ �˱������ط��� $x=0$ �� ������Ƴ�����ƤƤ����ĤǤ��롣�㤨��:

• ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˿����ʴط��� $6=0$ ��Ƴ�����ƤǤ����ĤǤ��롣
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$ �Ȥϡ� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �˿����ʴط��� $X^2-2=0$ �� Ƴ�����ƤǤ����ĤǤ��롣
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]/(X^2-2,XY)$ �Ȥϡ� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �˿����ʴط��� $X^2-2=0,XY=0$ �� Ƴ�����ƤǤ����ĤǤ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Τ褦�ʾ�;�Ĥ������ϡ����ޤޤ��ΤäƤ������Τ�ΤȤϼ㴳�ۤʤ롣 ���Τ��Ȥ��������뤿��ˡ������Ĥ��θ��դ��Ѱդ��Ƥ�����

��� 5.1   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ �� $R$ ���������Ǥ���Ȥϡ� $xy=0$ ���� $y\neq 0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $y$ ��¸�ߤ���Ȥ��˸�����

��� 5.2   �Ĵ��� $R$ ����������줿�Ȥ��롣

1. $R$ �� 0 �ʳ��������Ҥ��ʤ��ʤ顢 $R$ �������Ǥ���Ȥ�����
2. $R$ �� 0 �ʳ��θ��� $R$ �DzĵդǤ���Ȥ���$R$ �����Ǥ���Ȥ�����

��������Τ�ɬ������Ǥ��롣

��� 5.3   �Ĵ��� $R$ �Υ��ǥ��� $I$ ($R\neq I$ )�ˤĤ��ơ�

1. $R/I$ ������Ǥ���Ȥ���$I$ �� $R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ�����
2. $R/I$ ���ΤǤ���Ȥ���$I$ �� $R$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ���Ȥ�����

������̾����ͳ��Ϥ�äȤ��ȤΤۤ��ǽҤ٤롣 ���������äƤϡ������㤬���פǤ��롣

�� 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $\{0\}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��뤬�� ���祤�ǥ���ǤϤʤ���
2. �ǿ� $p$ ����������줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ��롣
3. �������� $n$ ���ǿ��Ǥʤ��Ȥ��� $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���ǤϤ��뤬�� �ǥ��ǥ���ǤϤʤ���

��� 5.4   �ǿ� $p$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��(�����˽Ҥ٤��褦��)����� $p$ ���ΤǤ��롣 ������ ${\mathbb{F}}_p$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½