����ر齬 I ���� No.12

���� 12.1   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �θ������Ƶ󤲤ʤ�����

���� 12.2   $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})^\times$ �θ������Ƶ󤲤ʤ�����

���� 12.3   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 12.4   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��

$$f([x]_4)=[9 x]_{12}$$

��������롣���ΤȤ���$f$ �Ϥ��ޤ��������ơ��¤��Ѥ��ݤĤ���ñ�̸����ݤ��ʤ� (���ä��ܱ齬�ǤϴĽ�Ʊ������֤ˤ�����ʤ�)���Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 12.5 (��1)   ñ�̸�����IJĴ��� $R,S$ �δ֤μ��� $f: R\to S$ ���¤��Ѥ��ݤĤȤ��ޤ��� ���ΤȤ������Τ��Ȥò¤¹¤Ù¤Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $e=f(1)$ �� $S$ �ζ������Ǥ��롣(���ʤ����$e^2=e$ .)
2. $S_1=e S$ �Ȥ����ȡ�$S_1$ �ϴĤǤ��롣
3. $f$ �� $R$ ���� $S_1$ �ؤ� �Ľ�Ʊ����������롣

���� 12.6 (��1)   $l,m$ ��ߤ����Ǥ����������Ȥ���

$$f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

��

$$f([x]_{lm})=([x]_l,[x]_m)$$

�Ƿ��롣���ΤȤ���

1. $f$ �Ϥ��ޤ��������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �ϴĽ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $f$ �γˤϤɤ��ʤ뤫�� ((����˴ؤ��Ƥ�������������ܿ��δ���Ū���������Ѥ��Ƥ��ɤ���)
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/lm{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��θĿ��򤽤줾������ʤ�����
5. $f([x]_{lm})=([1]_l,[0]_m)$ ������������ $x$ �� ¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
6. ��� $x$ �ˤ������ơ�
   $$x= k_1 l +1 =k_2 m$$
   �ʤ����� $k_1,k_2$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤������Τ��Ȥ��顢
   $$a l +b m=1$$
   �������� $l,m$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥξ�����Ϳ���ʤ�����

���� 12.7 (��1)  

1. $123$ �dz��� $4$ ���ޤꡢ$276$ �dz��� $7$ ;��褦��������ҤȤ� �󤲤衣
2. �嵭�Τ褦�������򤹤٤Ƶ��衣(���������ͳ��Ҥ٤뤳�ȡ�)
3. $137$ �dz��� $4$ ���ޤꡢ$251$ �dz��� $46$ ;��褦�����������Τ����� �Ǿ��Τ�Τ���衣

���� 12.8 (��1)  

1. ${\mathbb{C}}[X]$ �Τʤ��θ� $f(X)$ �ǡ� $3 X$ �dz��� $1$ ;�ꡢ $5 X^2-1$ �dz��� $X+3$ ;��褦�� ��Τ�����ĵ󤲤ʤ�����
2. ��Τ褦�� $f(X)$ �����Ƶ��ʤ�����