����ر齬 I ���� No.10

���� 10.1   ñ�।�ǥ������� $R$ �θ� $a,b$ �ˤĤ��ơ�$R$ �Υ��ǥ��� $I=(a,b)$ �ϡ�($R$ ��ñ�।�ǥ�����������顢)�����Ĥθ� $d$ ����������륤�ǥ��� $(d)$ �˰��פ���Ȧ�Ǥ������� $d$ �� $a,b$ �κ�����󸵤Ǥ��뤳�ȡ����ʤ����

1. $d$ �� $a,b$ �θ��󸵤Ǥ��롣(�Ĥޤ� $a=da',b=db'$ �Ȥʤ� $a',b'\in R$ ��¸�ߤ��롣)
2. $d'\in R$ �� $a,b$ �θ��󸵤ʤ�С�$d'$ �� $d$ ���󸵤Ǥ��롣

�Ȥ������Ȥ򼨤��ʤ�����

�������ˤ�ꡢñ�।�ǥ�������Ǥϡ� �ֺ�����󸵡פ򡢿��ΤȤ���Ʊ�ͤ˰����ޤ���

���� 10.2   $\alpha$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ ���Ǹ��Ȥ��ޤ������ΤȤ��� $\vert\alpha\vert^2$ ���ǿ������ǿ���2�褫�Τ����줫�Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�ҥ��:�ǿ� $p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\vert\alpha\vert^2$ ������ʤ�С� $p\vert\alpha\overline{\alpha}$ . $p$ �� $\alpha$ �Ȥκ�����󸵤�ȤäƤߤʤ�����)

�桼����åɴĤˤ����Ƥϡ��ԥ桼����åɤθ߽�ˡ�դˤ�äƺ�����󸵤���뤳�Ȥ��Ǥ��ޤ��� ��Ϥ�˼��������ɤ�����

���� 10.3   ���δ� $R$ ����Ĥθ��κ���������桼����åɤθ߽�ˡ�ˤ����ʤ�����

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ; $100010,10124$
2. $R={\mathbb{C}}[X]$ ; $X^{10}-1,X^{12}-1$

���� 10.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ˤ����ơ� $3+4\sqrt{-1},15$ �κ�����󸵤���ʤ�����

(����)

$\vert 15\vert=15>5=\vert 3+4\sqrt{-1}\vert$ �����顢�ޤ� $15$ �� $3+4\sqrt{-1}$ �dz�äƤߤ롣

$$\frac{15}{3+4\sqrt{-1}}=\frac{9-12\sqrt{-1}}{5}=1.8-2.4\sqrt{-1}$$

���ξ��ˤ�äȤ�ᤤ�Τ� $2-2\sqrt{-1}$ .

$$10-(3+4\sqrt{-1})(2-2\sqrt{-1})=1-2\sqrt{-1}$$

�椨�ˡ�$15$ �� $3+4\sqrt{-1}$ �dz�ä���;��դ� $1-2\sqrt{-1}$ . ����ɤ� $3+4\sqrt{-1}$ �� $1-2\sqrt{-1}$ �dz�롣����ڤ��Τǡ������� $1-2\sqrt{-1}$ .

���� 10.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ˤ����ơ����γ��Ȥκ�����󸵤���ʤ�����

1. $12+36\sqrt{-1}$ , $5+13\sqrt{-1}$
2. $7+8\sqrt{-1}$ ,$226$

���� 10.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-2}]$ �ˤ����ơ����γ��Ȥκ�����󸵤���ʤ�����

1. $2+3\sqrt{-2}$ , $11+22\sqrt{-2}$
2. $5+3\sqrt{-2}$ ,$129$

���� 10.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2+1)$ �μ��θ����ñ�ˤ��ʤ�����

$$\bar{X}^5+2\bar{X}^4+3\bar{X}+2$$

���� 10.7   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X-1)$ �θ� $\bar{X}^{100}$ ���ñ�ˤ��ʤ�����

���� 10.8   �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$ �θ� $a \bar{X}+b$ ( $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $(a,b)\neq (0,0)$ ) �εո���(���줬¸�ߤ�����ˤ�)���ʤ����� ���δĤ��Τ���������

���� 10.9   �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-1)$ �θ� $a \bar{X}+b$ ( $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $(a,b)\neq (0,0)$ ) �εո���(���줬¸�ߤ�����ˤ�)���ʤ����� ���δĤ��Τ���������

���� 10.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-5)$ �θ� $(\bar{X}+1)^3$ ���ñ�ˤ��ʤ�����

���� 10.11  

1. $10$ �ʿ� $123456789 (10)= 1\times 10^8+2\times 10^7+3\times 10^6+4\times 10^5 +5\times 10^4+6\times 10^3+7\times 10^2+8\times 10^1+9$ �� $9$ �dz�ä�;��� ���ʤ�����
2. $7$ �ʿ� $135246 (7)= 1\times 7^5+3\times 7^4+5\times 7^3+ 2\times 7^2+4\times 7+6$ �� $6$ �dz�ä�;�����ʤ�����
3. $16$ �ʿ�

   $$(16)$$

   $$(= 1 \cdot 16^{14}+4 \cdot 16^{13}+7 \cdot 16^{12}+10\cdot 16^{11}+ 13\cdot 16^{10}+2 \cdot 16^9 +5 \cdot 16^8$$

   $$+ 8\cdot 16^7 + 11\cdot 16^6 +14\cdot 16^5 +3 \cdot 16^4 +6\cdot 16^3+ 9\cdot 16^2 + 12\cdot 16 +15 )$$

   
   
   �� $15$ �dz�ä�;�����ʤ�����(a=10,b=11,c=12,d=13,e=14,f=15; ����ԥ塼�� �������Ǥ� 147ad258be369cf$(16)$ �Τ��Ȥ� 147ad258be369cfh �Ȥ� 0x147ad258be369cf �Ƚ񤭤ޤ���
4. ¿�༰ $X^{14}+3X^5+7X^2+8$ �� $X-1$ �dz�ä�;�����ʤ�����

���� 10.12   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��No.1 ������1.7, 1.8 ��������줿�� $\boxplus$ , �� $\boxtimes$ ��Ƴ�������Ĥ� $R$ �Ȥ���Ȥ���

1. $1_R=6$ �Ǥ��뤳�Ȥ��ǧ������������ $n$ �ˤ������ơ�
   $$n_R= \overbrace{1_R\boxplus 1_R \boxplus 1_R \boxplus \dots \boxplus 1_R}^n (= \overbrace{6\boxplus 6\boxplus 6 \boxplus\dots \boxplus 6 }^n)$$
   ���ͤ���ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $R$ �ؤν�Ʊ����������ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong R$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����