next up previous
Next: About this document ...

    

����ر齬 IB ���� No.3

\fbox{¥¤¥Ç¥¢¥ë¤ÎÄêµÁ¡¢¡ÖÀ¸À®¤¹¤ë¥¤¥Ç¥¢¥ë¡×ÊÔ}

��� 3.1   �� $ R$ ����ʬ���礬 $ R$ �����ǥ����Ǥ���Ȥϡ�
  1. $ I$ �� $ (R,+)$ ����ʬ�÷��Ǥ��롣
  2. $ r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$
�����郎����Ω�ĤȤ��˸����ޤ���

���� 3.1   �� $ R$ ����ʬ���� $ \{0\}$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�̾� $ \{0\}$ ��ñ�� 0 �Ǥ���路�ޤ���)

���� 3.2 (��1)   ���γ� $ R,I$ ���ȹ礻�ˤ����ơ���$ I$ �ϴ� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ���� �Ȥ����������������ͳ�ò¤¢¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ R=\mathbb{N}$ , $ I=0$ .
  2. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
  3. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=\mathbb{N}$ .
  4. $ R=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $ I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  5. $ R={\mathbb{C}}$ , $ I=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
  6. $ R={\mathbb{C}}[X]$ , $ I={\mathbb{C}}$ .
  7. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=$ (�ǿ�������).

��� 3.2   �� $ R$ ����ʬ���� $ A,B$ �ˤ������ơ�
  1. $ A+B= \{a+b; a\in A, b\in B\}$ .
  2. $ A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ .
��������ޤ���¾��ʶ�줬�ʤ����ˤϡ� $ A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ �Τ��Ȥ� ñ�� $ A B$ �Ȥ�񤭤ޤ���

���� 3.3   $ I,J$ ���� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�$ I\cap J$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.4   $ I,J$ ���� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�$ I\cup J$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ���� ���������������

���� 3.5   $ I,J$ ���� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

% latex2html id marker 1511
$\displaystyle I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}
$

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.6   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ʬ����

$\displaystyle I=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; \text{$f$ ¤ÎÄê¿ô¹à¤Ï $2$ ¤ÎÇÜ¿ô}\}
$

�� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ������������

���� 3.7   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ʬ���� $ S$ �Ǥ��äơ��¡��ѤˤĤ����Ĥ��Ƥ���ˤ�ؤ�餺�� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ���Ǥʤ���Τ����󤲤ʤ�����

���� 3.8   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ʬ����

$\displaystyle J=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; f(0)\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{ and } f'(0)\in 3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}
$

�� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ������������

���� 3.9   $ I,J$ ���Ĵ��� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ���ˤ⤫����餺

$\displaystyle I\underset{\text{(set)}}{\cdot} J=\{ a b; a \in I, b \in J \}
$

($ I$ �� $ J$ �� $ R$ ����ʬ����Ȥ��Ƥ���)�� $ R$ �Υ��ǥ���ˤʤ�ʤ��褦��������Ū�ˤ����ʤ�����

���� 3.10   $ I,J$ ���Ĵ��� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

$\displaystyle IJ=\{\sum_i a_ib_i ($ͭ����$\displaystyle ); a_i\in I, b_i \in J \}$   (����)

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����($ IJ$ �Τ��Ȥ� $ I$ �� $ J$ �� ���ǥ���Ȥ��Ƥ����ȸƤ֡�

���� 3.11   �Ĵ��� $ R$ ���������

$\displaystyle P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}
$

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.3   ñ�̸�����IJĴ��� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ȥϡ�

% latex2html id marker 1605
$\displaystyle a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad
(a_n,\dots,a_0 \in R)
$

�Τ褦��ɽ������ΤΤ��ȤǤ���$ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�����ΤϴĤ�ʤ��ޤ��� ����� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ĥȸ��äơ�$ R[X]$ �Ǥ���路�ޤ��� �ʲ����ݤʤΤǡ԰��ѿ�¿�༰�դ��ФƤ�������Ǥϡ� $ R$ ��ñ�̸�����IJĴ��ĤǤ���Ȳ��ꤷ�Ƥ��뤳�Ȥˤ��ޤ���

���� 3.12 (ñ�̸�����IJĴ�)   �� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �� $ R$ �θ� $ a$ �ˤĤ��ơ�$ f(a)=0$ �ʤ�С�

% latex2html id marker 1630
$\displaystyle f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]
$

�Ȥ���碌�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.4   �� $ R$ �θ� $ a$ �ϡ�

$\displaystyle ab=0
$

�ʤ� % latex2html id marker 1643
$ b(\neq 0)\in R$ ��¸�ߤ���Ȥ������������ȸƤФ�ޤ��� ����������Ʊ�ͤ��������ޤ��� �Ĵ��ĤǤϡ������ζ��̤�����ʤ��Τǡ�ñ���������ȸƤӤޤ��� �����Ҥ� 0 �����ʤ��Ĵ��Ĥ������ȸƤӤޤ���

���� 3.13   ���� $ R$ ��� ���ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �ϡ�$ R$ �˹⡹ $ d$ �Ĥ�����������ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.14   �Ĵ��� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �η����Τ������������Ҥ�����С�$ f(X)$ �� $ R[X]$ ���������ҤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.15   ͭ������ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ѿ�¿�༰�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ �Υ��ǥ��� $ I$ �� $ X+Y(X+1),Y,X^2$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$ I$ �� $ X,Y$ �⸵�Ȥ��ƴޤळ�Ȥ� �����ʤ�����

���� 3.16 (��1)   ͭ������ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ѿ�¿�༰�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ �Υ��ǥ��� $ J$ �� $ X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5 $ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ J$ �� $ X+Y,Y^2-Y$ �򸵤Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����
  2. $ X+Y,Y^2-Y$ �򸵤Ȥ��ƴޤ�褦�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ �Υ��ǥ���� ɬ�� $ J$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.5   $ R$ ��ġ�$ I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ë¡¢$ S$ �� $ R$ ����ʬ����Ȥ��ޤ���$ I$ �� $ S$ ��(���ǥ���Ȥ���)���������Ȥϡ�����������������Ȥ��˸����ޤ���
  1. $ I$ �� $ S$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤࡣ
  2. $ I$ �ϡ�$ S$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ।�ǥ������ǺǾ��Τ�ΤǤ��롣���ʤ���� $ S$ ��ޤ� $ R$ ��Ǥ�դΥ��ǥ��� $ J$ ���Ф��� $ I\subset J$ ������Ω�ġ�
$ S$ ��ͭ�½��� $ S=\{x_1,\dots,x_n\}$ �ΤȤ���$ S$ ����������륤�ǥ�������� $ (x_1,\dots,x_n)$ �ȴݳ�̤��Ѥ��ƽ񤭤ޤ���

���� 3.1   $ \{9,12\}$ ����������� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $ I=(9,12)$ ����衣

���� $ I$ �ϰ������ˤĤ����Ĥ��Ƥ��뤫�顢

$\displaystyle I\ni 12-9=3.
$

����ˡ�$ I$ �� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��ݤ����ˤ���Ĥ��Ƥ��뤫�顢

$\displaystyle 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset I.
$

�Ȥ������� $ 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $ \{9,12\}$ ��ޤ� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤫�顢$ I$ �κǾ����ˤ�ꡢ

$\displaystyle I \subset 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

�ʾ�ˤ�ꡢ $ I=3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ʬ���ä���($ I=(3)$ �Ƚ񤤤Ƥ��ɤ�����������⻲��)

���� 3.17 (��1)   $ R$ ��ġ�$ S$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î»ï¿½ $ S$ ����������� $ R$ �Υ��ǥ��� $ I$ �������ҤȤ�¸�ߤ��뤳�Ȥò¼¡¤Î½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. (�����) $ I,J$ ���Ȥ�� $ S$ ����������� $ R$ �Υ��ǥ���(���ʤ�����3.5 ��(1),(2)��������)�ʤ�С�$ I,J$ ξ���κǾ������Ѥ��ơ�$ I=J$ ��ʬ���롣
  2. (¸�� I) $ S$ ��ޤ� $ R$ �Υ��ǥ���ϰ�Ĥ�ɬ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. (¸�� II) $ S$ ��ޤ� $ R$ �Υ��ǥ�������Τ� $ \{I_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ �Ȥ���ȡ�����餹�٤Ƥζ�����ʬ

    $\displaystyle I_0=\cap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda
$

    �� $ R$ �Υ��ǥ���ǡ����� $ S$ ��ޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. (¸�� III) ��� $ I_0$ �� $ S$ ��ޤ�Ǿ��Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.18 (��1)   ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����
  1. $ I_1=(4,6)$
  2. $ I_2=(12,18,30)$
  3. $ I_3=(78,54,62)$

���� 3.19 (��1)   ���� $ {\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����
  1. $ I_1=(X^3,X^2)$
  2. $ I_2=(X^3-1, X^2-1)$
  3. $ I_3=(X(X-1),(X+1)(X-1),X(X+1))$


next up previous
Next: About this document ...
2014-12-19