�����Ƚ������� No.3

��3���ܤμ��� :

�� and, or ������

���� 3.1       not $(P$$\text { and } Q)$ �� $($ not $P)$$\text { or } (\text{ not } Q)$ �Ȥ� Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ���ɽ���Ѥ��Ƽ����ʤ�����

�� $P\implies Q$ ������

$P\implies Q$ �� $($ not $P)$    or $Q$ ��Ʊ�ͤǤ��ä��Τǡ� ��������� $P$    and $($not $Q)$ ��Ϳ�����롣

�� $\forall, \exists$ ������

�֤��٤Ƥ� $X$ �θ� $x$ �ˤĤ��� $P(x)$ ������Ω�ġס����ʤ��

$$\forall x \in X (P(x))$$

������� �֤��� $X$ �θ� $x$ �ˤĤ��� $P(x)$ ������Ω���ʤ��ס����ʤ��

$$\exists x \in X ($$ not $$P(x) )$$

�Ǥ��롣

Ʊ�ͤˡ�

$$\exists x \in X (P(x))$$

�������

$$\forall x \in X ($$ not $$P(x) )$$

�Ǥ��롣

�ºݤξ��̤Ǥϡ����$x\in X$ �Τ褦�� $x$ �����¤�ֽ���θ����ݤ��� �ǽ񤯤Ȥϸ¤餺�����Τޤ޾��ǽ񤯤��Ȥ�¿�����ʲ�����򻲾ȤΤ��ȡ�

�� 3.1  

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \forall x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ (\vert x-3\vert<\delta \implies \vert x^2-9\vert<\epsilon)$$

( $x \mapsto x^2$ �� $x=3$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥ���̿��(��))�������

$$\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \ ( (\vert x-3\vert<\delta \implies \vert x^2-9\vert<\epsilon))$$ (��)

( $x \mapsto x^2$ �� $x=3$ ��Ϣ³�Ǥʤ��Ȥ���̿��(��)) �Ǥ��롣 ���Τ褦�ˡ�$\forall$ �� $\exists$ �����ߤ���̿�������ϡ�

• ����Ϥ��Τޤޤˡ�
• $\forall$ �� $\exists$ �������ؤ���
• �Ǹ�η��������ꤹ�롣

�Ȥ�����³���������롣

����ˡ�̿��(��)�ϡ�(��P $\implies$ Q�פ����꤬ �� $P$ and( not $Q$ )�� �Ǥ��ä����Ȥ��顢)

$$\exists \epsilon >0 \forall \delta >0 \exists x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$(\vert x-3\vert<\delta$$    and $$\vert x^2-9\vert\geq \epsilon)$$

�Ƚ񤭴������롣

���� 3.2   �Ĥ��γơ���̿�������ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½Ò¤Ù¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x+ y=0)$
2. $\forall x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\forall z \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\exists y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ (x y\neq z)$

���� $X$ �� $S$ ��Ϳ����줿�Ȥ���

$$X\setminus S= \{ x; x \in X$$    and $$x \notin S\}$$

�� $X$ �� $S$ ���������Ȥ����� ($X-S$ �Ƚ�ή���⤢�ꡢ�ֵܹ��ζ��ʽ�Ǥ� �����񤤤Ƥ��롣)

�Ȥ��ˡ�$S$ �� $X$ ����ʬ����λ��� $X\setminus S$ �� $X$ �ˤ������佸�� �Ȥ�֡� $X$ ��ʬ���꤭�äƤ���Ȥ��ˤ� $\complement S$ �Ƚ񤯤��Ȥ⤢�롣

���� 3.3   ���� $X$ ����ʬ���� $A,B$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ���$X$ �� ���ν���Ȥ��ƹͤ���

$$\complement(A \cap B)=\complement A \cup \complement B$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����