�����Ƚ������� No.1

�����ܤμ��� :

��� 1.1   ̿���ȤϤ��줬���Ǥ��뤫���Ǥ��뤫���Ϥä����ޤä�ʸ�Τ��ȤǤ��롣 (ï�����Ƥ�Ϥä���Ȥɤ��餫��ʬ����Ƥ��ơ� ������ո����������ʤ��Ȥ������Ȥ�����Ǥ��롣)

��������¿���֤˹�碌Ū�Ǥ��롣��äȸ���Ū�ˤϡ� �Ȥä��ɤ�ñ��Υꥹ�Ȥ�ʸˡ����ᡢ����ʸˡ��§�ä� �ꥹ�ȤΤʤ���ñ����Ȥ߹�碌����Τ�̿��ȸƤ֡�

�ʤ������ʽ�ʤɤǡ�̿��1.5....�פʤɤȤ��ƽ񤫤�Ƥ��� ��̿��פ�����ξ��(���ʽ񤬴ְ�äƤʤ��¤��) ����̿��Ǥ��롣������Ф��������ؤǤϵ���̿����оݤȤ��ư�����

�� 1.2 (̿�꤫�ݤ�����)  

1. "5 �� 3 ����礭��" �Ͽ���̿��Ǥ��롣
2. "3 �� 5 ����礭��" �ϵ���̿��Ǥ��롣
3. "3 ���礭��" ��̿��ǤϤʤ���

"5�� 3����礭��" �Ȥ��ä�̿���ҤȤĤ�ʸ��(�㤨�С�$P$ )��ɽ�����뤳�Ȥ����롣 �����

$$P:$$   "5��3����礭��"

��ɽ�����롣$P$ �Ͽ���̿��Ǥ��롣 ������� $P:''5>3''$ �Ƚ񤤤Ƥ��ɤ���

�㤨�С���ʬ��ʬ�ؤδ��äǤϡ� �����Ĥ��μ¿��ȡ��������Τν��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , �ط���ɽ�� " $=,>, <, \in , \ni$ , ����˱黻 " $+,-,\times, /$ "���Ȥ߹�碌�ƴ���Ū��̿�꤬ ����롣

�� 1.3 (����Ū��̿�����)  

1. $P_1: 3+5=8$
2. $P_2: 3 \times 7<100$
3. $P_3: (10+10)/2=10$

�Ȥ����С� $P_1,P_2,P_3$ �Ͽ���̿��Ǥ��롣

���� 1.1   ��������̿����㡢̿��ǤϤʤ�ʸ�Ϥ���� ���줾���ĤŤĤ����ʤ�����

"$x >100$ " �Τ褦�ˡ����ѿ��פ����̿��ˤĤ��ƹͤ��Ƥߤ褦�� ���켫�ΤǤϿ��Ȥ⵶�Ȥ����Ǥ��ʤ� (���⤽�� $x$ �Ϥʤ�ʤΤ���Ƚ���Ȥ��ʤ�!)�Τǡ� �������ΰ�̣�Ǥ�̿��Ȥϸ����ʤ����������� �ɤ���¿��� 100����礭�����Ȥ���ʸ �Ϥ���Ǥ⿿��������Ǥ��ơ�������󵶤�̿��Ǥ��롣 ����̿��Τ��Ȥ�

$$\forall x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\quad (x >100)$$

�⤷����

$$x >100\quad (\forall x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

�Ƚ񤯡� Ʊ�ͤˡ�����(���ʤ��Ȥ�ҤȤĤ�)�¿� $x$ ���Ф��ơ�$x >100$ �Ǥ��롢�Ȥ���̿���

$$\exists x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\quad (x >100)$$

�⤷����

$$x >100\quad (\exists x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

�Ƚ񤯡�����Ͽ���̿��Ǥ��롣 $\forall, \exists$ ���ѿ����Ȥ߹�碌�뤳�Ȥˤ�ꡢ ʣ����̿����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

$$\forall x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\quad (x^2 +1 >0)$$

�Ͽ���̿�����Ǥ��롣

���� 1.2  

$$\forall x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$(\exists y \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x>y))$$

$$\exists y \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$(\forall x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$( x>y))$$

�Ϥ��줾�쿿��̿���������������̿�����������

�� and, or, not

̿����Ȥ߹�碌�ƿ�����̿���Ĥ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣

��¸��̿�꤫�顢������̿������߽Ф�����δ���Ū��ƻ�񤬡� ��and, or, not�פǤ��롣���������Τ���ˡ��ޤ� �Ĥ�������򤷤Ƥ�����

��� 1.4 (������)   ̿��ο����ͤò¡¢¤Ä¤ï¿½ï¿½Î¤è¤¦ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ë¡£

1. ̿�� $P$ ��������(���Ǥ���)�Ȥ������ο����ͤ� $1$ �Ǥ�������롣
2. ̿�� $P$ ���������ʤ�(���Ǥ���)�Ȥ������ο����ͤ� 0 �Ǥ�������롣

��� 1.5   ̿�� $P$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$P$ �ο����ͤ� $p$ �Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� ��not $P$ �� �ʤ�̿��ò¤¢¤é¤¿ï¿½Ë¤Ä¤ï¿½ï¿½Ã¤Æ¤â¹½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ ����̿��ο����ͤϡ�$1-p$ �Ǥ��롣

��� 1.6   ̿�� $P,Q$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$P$ �ο����ͤ� $p$ , $Q$ �ο����ͤ� $q$ �Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. ��$P$ and $Q$ �� �ʤ�̿��򤢤餿�ˤĤ��äƤ⹽��ʤ��� ����̿��ο����ͤϡ�$p q$ �Ǥ��롣(���ʤ����$P$ , $Q$ �Τɤ���� ���λ��Τ߿��Ǥ��롣)

2. ��$P$ or $Q$ �� �ʤ�̿��򤢤餿�ˤĤ��äƤ⹽��ʤ��� ����̿��ο����ͤϡ� $\max(p, q)$ �Ǥ��롣(����ʤ��� $P,Q$ �� �ɤ��餫(ξ���Ǥ��ɤ�)�����λ��˿��Ǥ��롣)

��� 1.7   ̿�� $P,Q$ ��Ϳ�����Ƥ��ơ�$P$ �ο����ͤ� $p$ , $Q$ �ο����ͤ� $q$ �Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� ��$P$ $\implies$ $Q$ �� (��$P$ �ʤ�� $Q$ �פ��ɤࡣ) �ʤ�̿��ò¤¢¤é¤¿ï¿½Ë¤Ä¤ï¿½ï¿½Ã¤Æ¤â¹½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ ����̿��ο����ͤϡ� ��(not $P$ ) or $Q$ �פ�Ʊ���Ǥ��롣

��or�פȡ֤ʤ�СפλȤ����ϤȤ������դ�ɬ�פǤ��롣 �����Ȥ��Ƥϡ������θ��嵭�ʳ��λȤ����ǡ� ���Ⱦ��˱������Ѥ��뤳�Ȥ⤢�뤬�� ����Ǥϡֲ��Ϥ���������̣�Ǥϸ���ʤ��ä��פʤɤ������������뤪���줬���롣 ���������������Τˤ�������˾�Τ褦�ˤ���Ƥ��롣

�������ˤ��������ɽ�䡢ɮ���Τ褦�ˡ� �����ͤˤĤ��Ƥ�ɽ��Ĥ��ä������ �����ˤ��뤳�Ȥ����롣���������ɽ�Ȥ����� �ͼ��ϡ��ɤΤ褦�ʤ�ΤǤ��ɤ��櫓�������㤨�ФĤ��Τ褦�ˤĤ��롣

P	Q	P and Q	P or Q	not P	Q	(not P)or Q
0	0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	0	1	1

���ؤ�̿��ϡ��ִ���Ū��̿��פ�, �����Ĥ����ѿ��� $\forall, \exists$ , and, or, not, $\implies$ ���Ȥ߹�碌�ƺ���Ƥ��롣 �㤨�С���$f(x)=x^3$ �� $x=5$ ��Ϣ³�Ǥ���� �Ȥ���̿���

$$\forall \epsilon >0 (\exists \delta >0 (\forall x (\vert x-5\vert<\delta \implies \vert x^3-5^3\vert<\epsilon)))$$

�Ƚ񤫤�롣

���� 1.3  

$$\forall x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$(x >0$$    or $$x<1)$$

�Ͽ���̿���������������̿�����������

���� 1.4   ��$x> 3$ �ʤ�� $x >2$ �� ������������������ (�����ιֵ��餷����ä���̩�˽ñ¤¯¤Ê¤ï¿½: $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$(x >3 \implies x>2)$ ��������?)

��$P$ �ʤ�� $Q$ �פϡ�$P$ ������Ω�ĤȤ��ˤϡ�$Q$ ������Ω�Ĥ��Ȥ� ��ĥ���Ƥ��롣�Ǥ� $P$ ������Ω���ʤ��Ȥ��ˤϤɤ����������� ��������ǤϾ��˱����Ƽ�����Ĥΰ�̣���Ѥ��Ƥ��롣

1. $P$ �Ǥʤ��Ȥ��ϴ��Τ��ʤ���($P$ �����Ǥ⡢���Ǥ�ɤ���Ǥ�褤��)
2. $P$ �Ǥʤ��Ȥ��� $Q$ �Ǥʤ�(�ȸ����˸��äƤ���)��

ۣ�椵���򤱤뤿�ᡢ���ؤǤϡ֤ʤ�С�($\implies$ ) �����Ԥΰ�̣�ǤΤ��Ѥ��롣

��$P$ �ޤ��� $Q$ ��( $P$ or $Q$ )�ˤĤ��Ƥ� ����� $P$ �� $Q$ �Τɤ��餫���������Ȥ�����ĥ�Ǥ��뤬�� ��������ǤϾ��˱����Ƽ�����Ĥΰ�̣���Ѥ��Ƥ��롣

1. $P$ �� $Q$ ��ξ�������������Ȥ������
2. $P$ �� $Q$ ��ξ�����������Τ�(������)�����ʤ���

ۣ�椵���򤱤뤿�ᡢ���ؤǤϡ֤ޤ��ϡ�(or)�����Ԥΰ�̣�ǤΤ��Ѥ��롣