��ʬ��ʬ�س���AI���� No.9

���� 9.1 (�Ʒ�)   �˸� $\lim_{x\to x_0} f(x)$ �� $\lim_{x\to x_0} g(x)$ ���Ȥ�� ¸�ߤ���Ȳ��ꤹ�롣���ΤȤ������Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x)) =\lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x).$$
2. $$\lim_{x\to x_0} c f(x)= c \lim_{x\to x_0} f(x)$$ .
3. $$\lim_{x\to x_0} (f(x) g(x)) =\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) \left( \lim_{x\to x_0} g(x) \right).$$
4. ����ˡ� $\lim_{x\to x_0} f(x) \neq 0$ �Ȳ��ꤹ��ȡ�
   $$\lim_{x\to x_0} (g(x)/ f(x)) =\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to x_0} f(x) \right).$$

��� 9.2   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

�˸¤�����ˤ�ꡢ�������ϼ��Τ褦�˸����������롣

$$\forall \epsilon>0,\ \exists \delta>0 ;\ (0< \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ �ξ����θ�˲ä���ȡ����Τ褦���������ʤꤿ�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 9.3   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥϡ����ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

��������ϡ������פǤϤ��뤬�� Ϣ³��������ˤ����� ``$x=a$ '' �Ρ��㳰Ū�ʰ����פ�������Ƥष�� �����ʷ��򤷤Ƥ��롣�����Ǥ��ιֵ��ǤϤ�äѤ�Ϣ³����Τ����ˤ� ��������Τۤ����Ѥ���Ƚ�ꤹ�뤳�Ȥˤ��롣�ºݤˤϡ��ؿ� $f$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ���Ȥ���������϶������롣������ �����ˤĤ��Ƥξ���ϥå��국�Ҥ��Ƽ��Τ褦��������褦��

��� 9.4   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����ʬ���� $X$ ��������줿�ؿ� $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� �� $a\in X$ �ˤ�����Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

(��) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; \forall x \in X( \vert x-a\vert<\delta \ \implies \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

���������Ȥ��˸�����

$X$ ���������뤳�Ȥˤ�ꡢ$x$ ��ư���ϰϤ˴ؤ������¤����Τˤʤ롣 �Ȥ��� $X$ �� $[a,a+\epsilon)$ �ΤȤ���ͤ���Сֱ�Ϣ³���� �������˲��Ǥ��롣

���� 9.1   ���ο� $\epsilon>0$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� ���Τ褦�� ���ο� $\delta$ �ò¸«¤Ä¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\forall b \left( \vert b-5\vert<\delt... ...text{ and } \left\vert\frac{1}{b}-\frac{1}{5} \right\vert <\epsilon ) \right)$$