��ʬ��ʬ�س���AI���� No.3

��3���ܤμ��� :

��«��������������� 3.1 �ǽҤ٤��̤�Ǥ��롣 ����Ǥ���� 3.1 ��Ƚ��ˡ�������� $c$ ��ͣ��Ĥ���������

���� 3.1   ���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ��(����ͤ��Τ��᤿�Ȥ���) $c$ �˼�«���� (�̤οͤ��Τ��᤿�Ȥ���) $c'$ �ˤ��«����ʤ顢

$$c=c'$$

�Ǥ��롣�Ĥޤꡢ����μ�«���¸�ߤ���Ȥ�����ͣ��Ĥ����ʤ���

�����ǡ��Ĥ��Τ褦��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��� 3.2   ���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ������� $c$ �˼�«����Ȥ���

$$\lim_{n\to \infty} a_n=c$$

�Ƚ񤤤ơ�$c$ �Τ��Ȥ� $\{a_n \}$ ���˸��ȸƤ֡�

���� 3.3  

1. $$\lim_{n\to \infty} a_n =\alpha \ {\Leftrightarrow}\ \lim_{n\to \infty} \vert a_n -\alpha\vert=0$$

2. $a_n \leq b_n \quad(\forall n)$ �ǡ����� $\{a_n \}$ , $\{b_n\}$ �� ��«����ʤ顢
   $$\lim_{n\to \infty} a_n \leq \lim_{n\to \infty} b_n$$

3. $a_n \leq c_n \leq b_n \quad(\forall n)$ �ǡ����� $\{a_n \}$ , $\{b_n\}$ �� Ʊ���� $\alpha$ �˼�«����ʤ顢 $\{c_n\}$ �� $\alpha$ �˼�«���롣

���� 3.4   ��«��������ͭ���Ǥ��롣

���� 3.5   �¿��� $\{a_n \}$ , $\{b_n\}$ �Ϥ��줾���«����Ȥ��롣���ΤȤ���

1. �ֶ˸¤�Ȥ�פȤ������������Ǥ��롣���ʤ���� $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ������ $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ �ϼ�«���ơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. �ּ¿��ξ�ˡ��Ϣ³�Ǥ��롣��
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. �¿��ν�ˡ�ϡ�Ϣ³�פǤ��롣 ��äȾܤ��������ȡ� $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ �ʤ顢 ͭ�¸Ĥ��㳰������� $b_n\neq 0$ �Ǥ��äơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

��������ϡ��ɤ��餫�Ȥ��������̤����ѿ��ؿ���Ϣ³���˴ؤ��� �����Ȥ��ư����ۤ������̤����ɤ��� ���ѿ��ؿ���Ϣ³���ˤĤ��Ƥ���ǯ�����˾ܺ٤˳ؤ֤��Ȥˤʤ뤬�� ����ޤ��ԤäƤ���櫓�ˤ⤤���ʤ��ΤǾ�Τ褦�ʥ��å��֡פ��Ѥ��� �Ѥ��ڤ�ʤ�ɽ�� �ǤϤ��äƤ⤳���˽Ҥ٤�ɬ�פ����ä��Ȥ����辰��

���� 3.1   �¿��� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $c$ �˼�«����Ȥ���

$$\{a_n^{10}\}_{n=1}^\infty$$

�ϼ�«����ȸ��������������������ʤ�Ф��μ�«�����ͳ�򡢸����ʤ��ʤ�� ȿ�����ʤ����� (����: ����ιֵ��Ǿ������������򤿤��Ѥ���ΤǤϤʤ��� ��«���������ä� ($\epsilon$ -$N$ ��ˡ��)�������뤳�ȡ�)

(�ҥ��: 2������)

��Ͽ: �ֿ��󤬼�«����פ��Ȥξ����Υե����ޥåȡ� �ͳѤ���������Τ����ס�����¾���Դ֤���ͳ�դ��Τ���� ʸ�Ϥ��ɬ�פ�������⤢�롣

$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $\alpha$ �˼�«���롣

$(\because)$

$\forall \epsilon >0$ ������

$N$ �Ȥ��� ����Ѥ��롣 ����ȡ����� $N$ ����礭��Ǥ�դ� $n$ ���Ф��ơ�

$$\vert a_n -\alpha\vert < \fbox{\phantom{Good inequalities}} <\epsilon$$

$\qedsymbol$

���� 3.6   $k(n)$ ��$n$ �ò½½¿Ê¿ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Î·ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£

$$a_n=\frac{1}{k(n)} \qquad(n=1,2,3\dots)$$

�Ȥ����ȡ� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� 0 �˼�«���롣

ARRAY(0x8ffc058)