next up previous
Next: About this document ...

    

�����III���� No.11

����

% latex2html id marker 948 $ \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$ , % latex2html id marker 950 $ \beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$ �Ȥ����Ȥ��� $ c\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , % latex2html id marker 955 $ c\neq -1,2$ �ʤ��

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle (\alpha+c\beta)=$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 960 $\displaystyle (\sqrt{3},\sqrt{5}). $

[����] ���Υ��ƥåפǾ������롣

  1. $ [$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 964 $ (\sqrt{3}):$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]=2. $
  2. % latex2html id marker 968 $ \sqrt{5}\notin$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 970 $ (\sqrt{3})$
  3. $ [$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 974 $ (\sqrt{3},\sqrt{5}):$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 976 $ (\sqrt{3})]=2$ .
  4. $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 980 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Υ���������Ǥ��äơ� ���γ��缡���� $ 4$ .
  5. $ \operatorname{Gal}(L/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ �θ� $ \sigma$ �� % latex2html id marker 992 $ \sqrt{3}$ �ιԤ��� % latex2html id marker 994 $ \sigma(\sqrt{3})$ ( % latex2html id marker 996 $ \sqrt{3},-\sqrt{3}$ �����̤ꡣ) �� % latex2html id marker 998 $ \sqrt{5}$ �ιԤ��� % latex2html id marker 1000 $ \sigma(\sqrt{5})$ ( % latex2html id marker 1002 $ \sqrt{5},-\sqrt{5}$ �����̤�) �ˤ����ޤ롣�����⡢����� ( $ 2 \times 2=$ ) 4�̤���Ȥ߹�碌�� ���٤ƥ��������θ� �Ȥ��Ƹ���롣
  6. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1007 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥδ���Ȥ��� % latex2html id marker 1011 $ \{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$ ���뤳�Ȥ��Ǥ��롣
  7. % latex2html id marker 1013 $ c\neq -1,2$ �ʤ顢 �������� $ \operatorname{Gal}(L/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ �θ��ǡ� $ \alpha+c \beta $ ��ư�����ʤ���Τϡ� ����������ñ�̸�(��������)�˸¤롣

��Τ褦�ˡ� �������������Τä���Ǥʤ顢������������Ƥ�ʬ����䤹���ʤ롣 (�������꼫�Τϡ������������ι��ۤ��Τ�Τ�ɬ�פǤ��ä��Τǡ� �������δ�������(�������б�)���Ѥ����˾�������ɬ�פ����ä���)

���� 11.1 (����6.8�Ʒ�)   $ K$ ��̵�¸Ĥθ�������ΤȤ��롣 $ K$ ������Ū�ʸ� $ \alpha,\beta$ �����Ȥ�� $ K$ ��ʬΥŪ�ʤ��

$\displaystyle K(\alpha,\beta)=K(\alpha+c \beta) $

��ߤ��� $ c\in K$ �����ʤ��Ȥ�ҤȤ�¸�ߤ��롣

��ź���ˤĤ��ơ�

���Τ褦�����������롣

% latex2html id marker 1038 $\displaystyle \sqrt{3+\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{12+2\... ...0}}}{2} =\frac{\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2}}{2} =\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2} $

�Ĥޤꡢ % latex2html id marker 1040 $ \sqrt{3+\sqrt{5}}$ �ϡ����դΤ褦�˴�ñ���Ǥ��롣 �������ź����Ϥ����Ȥ����� Ʊ�ͤˡ����Τ褦������������Ω�Ĥ��Ȥ��狼�롣

% latex2html id marker 1042 $\displaystyle \sqrt{7-2\sqrt{6}}=\sqrt{6}-1,\quad \sqrt{3+\sqrt{2}}=\sqrt{6}-1,\quad $

�����ǡ� % latex2html id marker 1044 $ \sqrt{3+ \sqrt{7}}$ �Ͼ�Τ褦�ˤϴ�ñ�ˤʤ�ʤ��� ����ϡ����Τ褦�������Ǥ��롣

  1. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Υ��������� $ L$ �ǡ� % latex2html id marker 1050 $ \alpha=\sqrt{3+\sqrt{7}}$ �� ���Ȥ��ƴޤ��Τϡ� % latex2html id marker 1052 $ \sqrt{3-\sqrt{7}})$ �⸵�Ȥ��ƴޤࡣ
  2. $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1056 $ (\sqrt{3+\sqrt{7}},\sqrt{3-\sqrt{7}})$ .
  3. $ L \supset$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1060 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})$ .
  4. $ [L:$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1064 $ (\sqrt{7},\sqrt{2})]=2$ .
  5. �⤷��$ \alpha$ ��ͭ���� $ x,y$ �Ǥ�ä� % latex2html id marker 1070 $ \sqrt{x},\sqrt{y}$ ��ͭ��������ͭ�����Ȥ��Ƥ�����ʤ顢 $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1074 $ (\sqrt{x},\sqrt{y})$ �� �ʤäơ���λ��¤�̷�⤹�롣


2014-01-16