�����III���� No.10

�����Υơ���

3��������

$$X^3-a X^2+b X- c=0$$

��򤳤��� �����������κ��� $x_1,x_2,x_3$ �Ȥ��롣 �������Ǥ��뤫������Ū���Τ�ʤ��櫓����������¸�ߤϴ����ΤäƤ��롣 $x_1,x_2,x_3$ �λ�����������ջ����ơ����β����򸫤褦�Ȥ����櫓����

$$X^3-a X^2+b X -c =(X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)$$ (��)

��Ÿ�����뤳�Ȥˤ�ꡢ�����뺬�ȷ����δط�

$$x_1+x_2+x_3=a ,\quad x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1=b,\quad x_1 x_2 x_3=c$$

�������롣$a,b,c$ ���ΤäƤ���������顢 $x_1,x_2,x_3$ �� �����оμ����ͤ��ΤäƤ���Ȥ������Ȥˤʤ롣 $x_1,x_2,x_3$ ���оμ����ͤ⤳��餫��( $x_1,x_2,x_3$ ���ͤ���̤��Τ�ʤ��Ƥ�) �׻��Ǥ��롣 �������äơ�ǡ���ˤ����������оμ����뤫��������ˤʤ롣

�饰��󥸥��ʬ��

$$r_1=x_1 +\omega x_2 +\omega^2 x_3,\quad r_2=x_1 +\omega^2 x_2 +\omega x_3$$ (R1)

��ͤ��Ƥߤ褦��(������ $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ .) ����鼫�Τ� $x_1,x_2,x_3$ ���оμ��ǤϤʤ�����

���� 10.1   $t_1=r_1^3+r_2^3$ �� $t_2=r_1^3 r_2^3$ �ϤȤ�� $x_1,x_2,x_3$ �� �оμ��Ǥ��롣

�ºݡ�

$$t_1=2 a^3 - 9 a b +27 c, \quad r_1 r_2=a^2-3 b,\quad t_2= (a^2-3b)^3.$$

���Τ��Ȥ��顢 $r_1^3,r_2^3$ ����������

$$X^2-t_1 X +t_2=0$$

���󺬤Ȥ��Ʒ׻����뤳�Ȥ��Ǥ��ơ� ���ȤϤ���3�躬�Ȥ��� $r_1,r_2$ ��׻��Ǥ��롣 �������� $x_1,x_2,x_3$ �� �Ф��Τ�ϢΩ�켡��������򤱤Ф褤(�饰��󥸥��ʬ����Ĥ� ���ȷ����δط��ΰ����ܤμ�)�ΤǴ�ñ�Ǥ��롣

4���������ξ���ͤ��褦�� ���� $x_1,x_2,x_3,x_4$ �Ȥ����ȡ�

$$X^4-a X^3+b X^2 -c X +d = (X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)(X-x_4).$$

�������麬�ȷ����δط�������졢��Ϥ� $x_1,x_2,x_3,x_4$ �� �оμ��� $a,b,c,d$ ����( $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���ͤ��Τ�ʤ��Ƥ�) �׻��Ǥ��롣

�饰��󥸥��ʬ�򼰤Ȥ��ơ�

$$r_1=x_1 - x_2 +x_3-x_4, \quad r_2=x_1 - x_2 -x_3+x_4, \quad r_3=x_1 + x_2 -x_3-x_4$$

��Ȥ롣 $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ �δ����оμ�

$$s_1= r_1^2 +r_2^2+r_3^2, \quad s_2=r_1^2 r_2^2 +r_2^2 r_3^2 +r_3^2 r_1^2 , \quad s_3=r_1^2 r_2^2 r_3^2$$

�Ϥ��줾�� $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���оμ��ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�ʬ���ꡢ�������ä� $a,b,c,d$ ����׻��Ǥ��롣 ���ʤ���� $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ ��

$$X^3 -s_1 X^2 + s_2 X - s_3$$

�λ����Ǥ��뤫�顢���ʤΤ褦�˶Һ����Ѥ��� $a,b,c,d$ ����׻��Ǥ��롣 ���ȤϤ���ʿ������׻�����С� $r_1,r_2,r_3$ ���׻�����ơ� �켡�������κ��Ȥ��� $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���׻������Ȥ������ȤǤ��롣

���� 10.1   3���������β�ˡ�ˤ����ơ� $x_1,x_2,x_3$ ���ִ�(6�Ĥ���)�ˤ�ä�(R1)��ʬ�� $r_1,r_2$ �� ���줾��ɤΤ褦���Ѳ����뤫���ºݤ˽ñ¤­²ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 10.2   4���������β�ˡ�������Ʊ�ͤΤ��Ȥ�ͤ��Ƥߤʤ�����